Leonhard Euler (1707-1783) - beroemde Switserse en Russiese wiskundige, lid van die St. Petersburg Akademie vir Wetenskappe, het die grootste deel van sy lewe in Rusland gewoon. Die bekendste in wiskundige analise, statistiek, rekenaarwetenskap en logika is die Euler-sirkel (Euler-Venn-diagram), wat gebruik word om die omvang van konsepte en stelle elemente aan te dui.
John Venn (1834-1923) - Engelse filosoof en logikus, mede-outeur van die Euler-Venn-diagram.
Versoenbare en onversoenbare konsepte
Onder die konsep in logika beteken 'n vorm van denke wat die wesenlike kenmerke van 'n klas homogene objekte weerspieël. Hulle word aangedui deur een of 'n groep woorde: "wêreldkaart", "dominante vyfde-sewende akkoord", "Maandag", ens.
In die geval waar die elemente van die omvang van een begrip ten volle of gedeeltelik tot die omvang van 'n ander behoort, praat 'n mens van versoenbare begrippe. As geen element van die omvang van 'n sekere konsep egter tot die omvang van 'n ander behoort nie, het ons onversoenbare konsepte.
Op sy beurt het elke tipe konsep sy eie stel moontlike verwantskappe. Vir versoenbare konsepte is dit:
- identiteit (ekwivalensie) van volumes;
- kruising (gedeeltelike wedstryd)volumes;
- ondergeskiktheid (ondergeskiktheid).
Vir onversoenbaar:
- ondergeskiktheid (koördinasie);
- teenoorgestelde (teenstrydigheid);
- teenstrydigheid (teenstrydigheid).
Skematies word verhoudings tussen konsepte in logika gewoonlik aangedui deur Euler-Venn-sirkels te gebruik.
Ekwivalente verhoudings
In hierdie geval beteken die konsepte dieselfde onderwerp. Gevolglik is die volumes van hierdie konsepte heeltemal dieselfde. Byvoorbeeld:
A - Sigmund Freud;
B is die stigter van psigoanalise.
Of:
A is 'n vierkant;
B is 'n gelyksydige reghoek;
C is 'n gelykhoekige ruit.
Heeltemal saamvallende Euler-sirkels word vir aanwysing gebruik.
Kruising (gedeeltelike wedstryd)
Hierdie kategorie sluit konsepte in wat algemene elemente het wat verband hou met kruising. Dit wil sê, die volume van een van die konsepte is gedeeltelik ingesluit in die volume van die ander:
A - onderwyser;
B is 'n musiekliefhebber.
Soos uit hierdie voorbeeld gesien kan word, val die volumes van konsepte gedeeltelik saam: 'n sekere groep onderwysers kan blyk te wees musiekliefhebbers, en omgekeerd - daar kan verteenwoordigers van die onderwysberoep onder musiekliefhebbers wees. 'n Soortgelyke houding sal wees in die geval wanneer konsep A byvoorbeeld 'n "burger" is en B 'n "drywer".
Ondergeskiktheid (ondergeskiktheid)
Skematies aangedui as Euler-sirkels van verskillende skale. Verhoudingstussen begrippe word in hierdie geval gekenmerk deur die feit dat die ondergeskikte begrip (kleiner in volume) volledig by die ondergeskikte (groter in volume) ingesluit is. Terselfdertyd put die ondergeskikte konsep nie die ondergeskikte een heeltemal uit nie.
Byvoorbeeld:
A - boom;
B - denne.
Konsep B sal ondergeskik wees aan konsep A. Aangesien denne aan bome behoort, word konsep A in hierdie voorbeeld ondergeskik, en "absorbeer" die omvang van konsep B.
Coordination (coordination)
Verwantskap kenmerk twee of meer konsepte wat mekaar uitsluit, maar tot 'n sekere algemene generiese kring behoort. Byvoorbeeld:
A – klarinet;
B - kitaar;
C - viool;
D is 'n musiekinstrument.
Die konsepte A, B, C sny nie in verhouding tot mekaar nie, maar hulle behoort almal tot die kategorie musiekinstrumente (die konsep D).
Opposite (teendeel)
Teengestelde verwantskappe tussen konsepte impliseer dat hierdie konsepte tot dieselfde genus behoort. Terselfdertyd het een van die konsepte sekere eienskappe (kenmerke), terwyl die ander dit ontken en vervang met teenoorgesteldes in die natuur. Ons het dus te doen met antonieme. Byvoorbeeld:
A is 'n dwerg;
B is 'n reus.
Eulersirkel met teenoorgestelde verhoudings tussen konsepteword in drie segmente verdeel, waarvan die eerste met konsep A ooreenstem, die tweede met konsep B, en die derde met alle ander moontlike konsepte.
Teenstrydigheid (teenstrydigheid)
In hierdie geval is beide konsepte spesies van dieselfde genus. Soos in die vorige voorbeeld, dui een van die konsepte op sekere eienskappe (kenmerke), terwyl die ander dit ontken. In teenstelling met die verhouding van teenoorgesteldes, vervang die tweede, teenoorgestelde konsep egter nie die ontkende eienskappe met ander, alternatiewes nie. Byvoorbeeld:
A is 'n moeilike taak;
B is 'n maklike taak (nie-A).
Om die volume konsepte van hierdie soort uit te druk, word die Euler-sirkel in twee dele verdeel - die derde, tussenskakel in hierdie geval bestaan nie. Die begrippe is dus ook antonieme. Terselfdertyd word een van hulle (A) positief (wat een of ander kenmerk bevestig), en die tweede (B of nie-A) word negatief (wat die ooreenstemmende kenmerk ontken): "wit papier" - "nie wit papier nie", " nasionale geskiedenis” – “buitelandse geskiedenis”, ens.
Dus, die verhouding van die volumes van konsepte in verhouding tot mekaar is 'n sleutelkenmerk wat Euler-sirkels definieer.
Verwantskappe tussen stelle
Dit is ook nodig om te onderskei tussen die konsepte van elemente en versamelings, waarvan die volume deur Euler-sirkels vertoon word. Die konsep van 'n versameling is ontleen aan die wiskundige wetenskap en het 'n redelik wye betekenis. Voorbeelde in logika en wiskunde vertoon dit as 'n sekere stel voorwerpe. Die voorwerpe self iselemente van hierdie stel. "Baie is baie gedink as een" (Georg Kantor, stigter van versamelingteorie).
Samstelle word in hoofletters aangedui: A, B, C, D… ens., elemente van stelle word in kleinletters aangedui: a, b, c, d… ens. Voorbeelde van 'n stel kan studente wees wat is in een klaskamer, boeke op 'n sekere rak (of, byvoorbeeld, al die boeke in 'n sekere biblioteek), bladsye in 'n dagboek, bessies in 'n bosveld, ens.
Op sy beurt, as 'n sekere versameling nie 'n enkele element bevat nie, word dit leeg genoem en met die teken Ø aangedui. Byvoorbeeld, die stel snypunte van parallelle lyne, die stel oplossings vir die vergelyking x2=-5.
Probleemoplossing
Euler-kringe word aktief gebruik om 'n groot aantal probleme op te los. Voorbeelde in logika demonstreer duidelik die verband tussen logiese bewerkings en versamelingsteorie. In hierdie geval word waarheidstabelle van konsepte gebruik. Byvoorbeeld, die sirkel gemerk A verteenwoordig die waarheidstreek. Die area buite die sirkel sal dus onwaar voorstel. Om die oppervlakte van die diagram vir 'n logiese bewerking te bepaal, moet jy die areas wat die Euler-sirkel definieer, waarin sy waardes vir elemente A en B waar sal wees, skakeer.
Die gebruik van Euler-kringe het wye praktiese toepassing gevind in verskeie industrieë. Byvoorbeeld, in 'n situasie met 'n professionele keuse. Indien die proefpersoon bekommerd is oor die keuse van 'n toekomstige beroep, kan hy deur die volgende kriteria gelei word:
W – wat doen ek graag?
D – wat doen ek?
P– hoe kan ek goeie geld maak?
Kom ons teken dit as 'n diagram: Euler-sirkels (voorbeelde in logika - kruisingsverhouding):
Die resultaat sal daardie beroepe wees wat by die kruising van al drie sirkels sal wees.
Euler-Venn-sirkels neem 'n aparte plek in wiskunde (versamelingsteorie) in wanneer kombinasies en eienskappe bereken word. Die Euler-sirkels van die stel elemente is ingesluit in die beeld van 'n reghoek wat die universele versameling (U) aandui. In plaas van sirkels kan ander geslote figure ook gebruik word, maar die essensie hiervan verander nie. Die figure sny met mekaar, volgens die toestande van die probleem (in die mees algemene geval). Hierdie syfers moet ook dienooreenkomstig gemerk word. Die elemente van die stelle wat oorweeg word, kan punte wees wat binne verskillende segmente van die diagram geleë is. Op grond daarvan kan jy spesifieke areas skadu en sodoende die nuutgevormde stelle aanwys.
Met hierdie versamelings is dit moontlik om basiese wiskundige bewerkings uit te voer: optelling (som van stelle elemente), aftrekking (verskil), vermenigvuldiging (produk). Boonop is dit, danksy die Euler-Venn-diagramme, moontlik om versamelings te vergelyk volgens die aantal elemente wat daarin ingesluit is, sonder om hulle te tel.
