In vandag se wêreld gebruik ons toenemend 'n verskeidenheid motors en toerusting. En nie net wanneer dit nodig is om letterlik onmenslike krag toe te pas nie: beweeg die vrag, lig dit tot 'n hoogte, grawe 'n lang en diep sloot, ens. Motors word vandag deur robotte aanmekaar gesit, kos word deur multikokers voorberei, en elementêre rekenkundige berekeninge word uitgevoer deur sakrekenaars. Al hoe meer hoor ons die uitdrukking "Booleaanse algebra". Miskien is dit tyd om die rol van die mens in die skep van robotte te verstaan en die vermoë van masjiene om nie net wiskundige nie, maar ook logiese probleme op te los.
Logic
Vertaal uit Grieks, logika is 'n geordende stelsel van denke wat verhoudings tussen gegewe toestande skep en jou toelaat om gevolgtrekkings te maak gebaseer op uitgangspunte en aannames. Ons vra gereeld vir mekaar: "Is dit logies?" Die antwoord wat ontvang is, bevestig ons aannames of kritiseer die gedagtegang. Maar die proses hou nie op nie: ons gaan voort om te redeneer.
Soms is die aantal toestande (inleidend) so groot, en die verhoudings tussen hulle is so ingewikkeld en kompleks dat die menslike brein nie in staat is om alles op een slag te "verteer" nie. Dit kan meer as een maand (week, jaar) neem om te verstaan wat aan die gebeur is. Maardie moderne lewe gee ons nie sulke tydsintervalle om besluite te neem nie. En ons wend ons tot die hulp van rekenaars. En dit is waar die algebra van logika verskyn, met sy eie wette en eienskappe. Deur al die aanvanklike data af te laai, laat ons die rekenaar toe om al die verwantskappe te herken, teenstrydighede uit te skakel en 'n bevredigende oplossing te vind.
Math and Logic
Die beroemde Gottfried Wilhelm Leibniz het die konsep van "wiskundige logika" geformuleer, waarvan die probleme slegs vir 'n nou kring van wetenskaplikes verstaanbaar was. Hierdie rigting het nie besondere belangstelling gewek nie, en tot die middel van die 19de eeu het min mense geweet van wiskundige logika.
Groot belangstelling in die wetenskaplike gemeenskap het 'n dispuut veroorsaak waarin die Engelsman George Boole sy voorneme aangekondig het om 'n tak van wiskunde te skep wat absoluut geen praktiese toepassing het nie. Soos ons uit die geskiedenis onthou, was industriële produksie aktief besig om in daardie tyd te ontwikkel, allerhande hulpmasjiene en masjiengereedskap is ontwikkel, dit wil sê, alle wetenskaplike ontdekkings het 'n praktiese fokus gehad.
As ons vorentoe kyk, kom ons sê dat Boolese algebra die mees gebruikte deel van wiskunde in die moderne wêreld is. So het Bull sy argument verloor.
George Buhl
Die persoonlikheid van die skrywer verdien spesiale aandag. Selfs as in ag geneem word dat mense in die verlede voor ons grootgeword het, is dit steeds onmoontlik om nie daarop te let dat J. Buhl op die ouderdom van 16 by 'n dorpskool onderwys gegee het, en teen die ouderdom van 20 het hy sy eie skool in Lincoln geopen. Die wiskundige was vyf vreemde tale magtig, en in sy vrye tyd het hy werke geleesNewton en Lagrange. En dit alles gaan oor die seun van 'n eenvoudige werker!
In 1839 het Boole die eerste keer sy wetenskaplike referate by die Cambridge Mathematical Journal ingedien. Die wetenskaplike is 24 jaar oud. Boole se werk het lede van die Royal Society so geïnteresseerd dat hy in 1844 'n medalje ontvang het vir sy bydrae tot die ontwikkeling van wiskundige analise. Verskeie meer gepubliseerde werke, wat die elemente van wiskundige logika beskryf het, het die jong wiskundige toegelaat om die pos van professor aan die College of Cork te neem. Onthou dat Buhl self geen opleiding gehad het nie.
Idee
In beginsel is Boole-algebra baie eenvoudig. Daar is stellings (logiese uitdrukkings) wat vanuit die oogpunt van wiskunde slegs deur twee woorde gedefinieer kan word: "waar" of "onwaar". Byvoorbeeld, in die lente blom die bome - waar, in die somer sneeu dit - 'n leuen. Die skoonheid van hierdie wiskunde is dat daar geen streng behoefte is om slegs getalle te gebruik nie. Enige stellings met 'n ondubbelsinnige betekenis is baie geskik vir die algebra van oordele.
Die algebra van logika kan dus letterlik oral gebruik word: in skedulering en skryf van instruksies, ontleding van botsende inligting oor gebeure, en die bepaling van die volgorde van aksies. Die belangrikste ding is om te verstaan dat dit heeltemal onbelangrik is hoe ons die waarheid of onwaarheid van die stelling bepaal. Hierdie "hoe" en "hoekom" moet weggeabstraheer word. Slegs die feitestelling maak saak: waar-onwaar.
Natuurlik, vir programmering, is die funksies van die algebra van logika belangrik, wat geskryf word deur die ooreenstemmendetekens en simbole. En om hulle te leer beteken om 'n nuwe vreemde taal te bemeester. Niks is onmoontlik nie.
Basiese konsepte en definisies
Sonder om in diepte te gaan, kom ons behandel die terminologie. Dus neem Boole-algebra aan:
- stellings;
- logiese bewerkings;
- funksies en wette.
Verklarings is enige regstellende uitdrukkings wat nie dubbelsinnig geïnterpreteer kan word nie. Hulle word as getalle (5 > 3) geskryf of in bekende woorde geformuleer (olifant is die grootste soogdier). Terselfdertyd het die frase "die kameelperd het geen nek nie" ook die reg om te bestaan, net Boole-algebra sal dit as "vals" definieer.
Alle stellings moet ondubbelsinnig wees, maar hulle kan elementêr en saamgestel wees. Laasgenoemde gebruik logiese verbindings. Dit wil sê, in die algebra van oordele word saamgestelde stellings gevorm deur elementêre stellings by te voeg deur middel van logiese bewerkings.
Booleaanse algebra-bewerkings
Ons onthou reeds dat bewerkings in die algebra van oordele logies is. Net soos getalalgebra rekenkunde gebruik om getalle op te tel, af te trek of te vergelyk, stel elemente van wiskundige logika jou in staat om komplekse stellings te maak, die finale resultaat te ontken of te bereken.
Logiese bewerkings vir formalisering en eenvoud word geskryf deur formules wat aan ons bekend is in rekenkunde. Die eienskappe van Boole-algebra maak dit moontlik om vergelykings te skryf en onbekendes te bereken. Logiese bewerkings word gewoonlik met behulp van 'n waarheidstabel geskryf. Sy kolommedefinieer die elemente van die berekening en die bewerking wat daarop uitgevoer word, en die lyne wys die resultaat van die berekening.
Basiese logiese aksies
Die mees algemene bewerkings in Boole-algebra is ontkenning (NIE) en logiese EN en OF. Byna alle handelinge in die algebra van oordele kan op hierdie manier beskryf word. Kom ons bestudeer elk van die drie bewerkings in meer besonderhede.
Negasie (nie) is van toepassing op slegs een element (operand). Daarom word die ontkenningsbewerking unêr genoem. Om die konsep van "nie A nie" te skryf, gebruik die volgende simbole: ¬A, A¯¯¯ of !A. In tabelvorm lyk dit so:
Die ontkenningsfunksie word gekenmerk deur die volgende stelling: as A waar is, dan is B onwaar. Die Maan draai byvoorbeeld om die Aarde – waar; Die aarde draai om die maan - vals.
Logiese vermenigvuldiging en optelling
Die logiese EN word die voegwoordbewerking genoem. Wat beteken dit? Eerstens, dat dit op twee operandes toegepas kan word, dit wil sê En is 'n binêre bewerking. Tweedens, dat slegs in die geval van die waarheid van beide operandes (beide A en B) die uitdrukking self waar is. Die spreekwoord "Geduld en werk sal alles maal" dui daarop dat slegs beide faktore 'n persoon sal help om probleme die hoof te bied.
Simbole wat vir skryf gebruik word: A∧B, A⋅B of A&&B.
Konjunksie is soortgelyk aan vermenigvuldiging in rekenkunde. Soms sê hulle dit - logiese vermenigvuldiging. As ons die elemente van die tabel ry vir ry vermenigvuldig, kry ons 'n resultaat soortgelyk aan logiese redenasie.
Disjunksie is 'n logiese OF-bewerking. Dit neem die waarde van waarheidwanneer ten minste een van die stellings waar is (óf A of B). Dit word so geskryf: A∨B, A+B of A||B. Die waarheidstabelle vir hierdie bewerkings is:
Disjunksie is soos rekenkundige optelling. Die logiese optelbewerking het net een beperking: 1+1=1. Maar ons onthou dat in digitale formaat, wiskundige logika beperk is tot 0 en 1 (waar 1 waar is, is 0 onwaar). Byvoorbeeld, die stelling "in 'n museum kan jy 'n meesterstuk sien of 'n interessante gespreksgenoot ontmoet" beteken dat jy kunswerke kan sien, of jy kan 'n interessante persoon ontmoet. Terselfdertyd word die moontlikheid dat beide gebeurtenisse gelyktydig plaasvind nie uitgesluit nie.
Funksies en wette
So, ons weet reeds watter logiese bewerkings Boole-algebra gebruik. Funksies beskryf al die eienskappe van elemente van wiskundige logika en laat jou toe om komplekse saamgestelde toestande van probleme te vereenvoudig. Die mees verstaanbare en eenvoudige eienskap blyk die verwerping van afgeleide bewerkings te wees. Afgeleides is eksklusiewe OF, implikasie en ekwivalensie. Aangesien ons slegs die basiese bewerkings bestudeer het, sal ons ook net die eienskappe daarvan oorweeg.
Asosiatiwiteit beteken dat in stellings soos "en A, en B, en C," die volgorde van die operandes nie saak maak nie. Die formule is so geskryf:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Soos jy kan sien, is dit nie net kenmerkend van konjunksie nie, maar ook van disjunksie.
Kommutatiwiteit verklaar dat die resultaatvoegwoord of disjunksie hang nie af van watter element eerste oorweeg is nie:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Verspreiding laat toe om hakies in komplekse logiese uitdrukkings uit te brei. Die reëls is soortgelyk aan die opening van hakies in vermenigvuldiging en optelling in algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Die eienskappe van een en nul, wat een van die operandes kan wees, is ook soortgelyk aan algebraïese vermenigvuldiging met nul of een en optelling met een:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency sê vir ons dat as, met betrekking tot twee gelyke operandes, die resultaat van 'n operasie soortgelyk blyk te wees, ons die ekstra operandes kan "weggooi" wat die verloop van redenasie bemoeilik. Beide voegwoord en disjunksie is idempotente bewerkings.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorpsie stel ons ook in staat om vergelykings te vereenvoudig. Absorpsie stel dat wanneer 'n ander bewerking met dieselfde element op 'n uitdrukking met een operand toegepas word, die resultaat die operand van die absorberende bewerking is.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Opeenvolging van bewerkings
Die volgorde van bewerkings is van geen geringe belang nie. Eintlik, soos vir algebra, is daar 'n prioriteit van funksies wat Boole-algebra gebruik. Formules kan slegs vereenvoudig word as die belangrikheid van die bewerkings waargeneem word. Rangskik van die belangrikste tot die minste, ons kry die volgende volgorde:
1. Ontkenning.
2. Voegwoord.
3. Disjunksie, eksklusiefOF.
4. Implikasie, ekwivalensie.
Soos jy kan sien, het net ontkenning en voegwoord nie gelyke voorrang nie. En die prioriteit van disjunksie en XOR is gelyk, sowel as die prioriteite van implikasie en ekwivalensie.
Implikasie- en ekwivalensiefunksies
Soos ons reeds gesê het, bykomend tot die basiese logiese bewerkings, gebruik wiskundige logika en die teorie van algoritmes afgeleides. Die mees algemene gebruik is implikasie en ekwivalensie.
Implikasie, of logiese gevolg, is 'n stelling waarin een handeling 'n voorwaarde is, en die ander 'n gevolg van die implementering daarvan. Met ander woorde, dit is 'n sin met voorsetsels "as … dan." "As jy daarvan hou om te ry, hou daarvan om sleë te dra." Dit wil sê, vir ski moet jy die slee teen die heuwel styf maak. As daar geen begeerte is om teen die berg af te beweeg nie, hoef jy nie die slee te dra nie. Dit is so geskryf: A→B of A⇒B.
Ekwivalensie aanvaar dat die gevolglike handeling slegs plaasvind wanneer beide operandes waar is. Nag verander byvoorbeeld in dag wanneer (en slegs wanneer) die son oor die horison opkom. In die taal van wiskundige logika word hierdie stelling soos volg geskryf: A≡B, A⇔B, A==B.
Ander wette van Boole-algebra
Die algebra van oordele is besig om te ontwikkel, en baie belangstellende wetenskaplikes het nuwe wette geformuleer. Die postulate van die Skotse wiskundige O. de Morgan word as die bekendste beskou. Hy het sulke eienskappe opgemerk en gedefinieer as nabye ontkenning, komplement en dubbele ontkenning.
Close ontkenning beteken dat daar geen ontkenning voor die parentese is nie:nie (A of B)=nie A of NIE B nie.
Wanneer 'n operand ontken word, ongeag die waarde daarvan, praat mens van 'n komplement:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
En laastens, die dubbele ontkenning vergoed vir homself. Dié. óf die ontkenning verdwyn voor die operand, óf net een bly oor.
Hoe om toetse op te los
Wiskundige logika impliseer die vereenvoudiging van gegewe vergelykings. Net soos in algebra moet jy eers die toestand so maklik moontlik maak (ontslae raak van komplekse insette en bewerkings daarmee), en dan begin soek na die regte antwoord.
Wat kan gedoen word om te vereenvoudig? Skakel alle afgeleide bewerkings om na eenvoudiges. Maak dan al die hakies oop (of andersom, haal dit uit hakies om hierdie element te verkort). Die volgende stap moet wees om die eienskappe van Boole-algebra in die praktyk toe te pas (absorpsie, eienskappe van nul en een, ens.).
Uiteindelik moet die vergelyking bestaan uit die minimum aantal onbekendes gekombineer deur eenvoudige bewerkings. Die maklikste manier om 'n oplossing te vind, is om 'n groot aantal naby negatiewe te bereik. Dan sal die antwoord opduik asof vanself.
