Om die parallelisme en loodregteheid van vlakke te bepaal, asook om die afstande tussen hierdie meetkundige voorwerpe te bereken, is dit gerieflik om een of ander tipe numeriese funksies te gebruik. Vir watter probleme is dit gerieflik om die vergelyking van 'n vlak in segmente te gebruik? In hierdie artikel gaan ons kyk wat dit is en hoe om dit in praktiese take te gebruik.
Wat is 'n vergelyking in lynsegmente?
'n Vliegtuig kan op verskeie maniere in 3D-ruimte gedefinieer word. In hierdie artikel sal sommige van hulle gegee word terwyl probleme van verskillende soorte opgelos word. Hier gee ons 'n gedetailleerde beskrywing van die vergelyking in segmente van die vlak. Dit het gewoonlik die volgende vorm:
x/p + y/q + z/r=1.
Waar simbole p, q, r 'n paar spesifieke getalle aandui. Hierdie vergelyking kan maklik in 'n algemene uitdrukking en in ander vorme van numeriese funksies vir die vlak vertaal word.
Die gerief om die vergelyking in segmente te skryf, lê in die feit dat dit die eksplisiete koördinate van die snypunt van die vlak met loodregte koördinaat-asse bevat. Op die x-asrelatief tot die oorsprong, sny die vlak 'n segment van lengte p af, op die y-as - gelyk aan q, op z - van lengte r.
As enige van die drie veranderlikes nie in die vergelyking vervat is nie, beteken dit dat die vliegtuig nie deur die ooreenstemmende as gaan nie (wiskundiges sê dat dit oneindig kruis).
Volgende, hier is 'n paar probleme waarin ons sal wys hoe om met hierdie vergelyking te werk.
Kommunikasie van die algemene en in segmente van vergelykings
Dit is bekend dat die vliegtuig deur die volgende gelykheid gegee word:
2x - 3y + z - 6=0.
Dit is nodig om hierdie algemene vergelyking van die vlak in segmente neer te skryf.
Wanneer 'n soortgelyke probleem opduik, moet jy hierdie tegniek volg: ons dra die vrye term oor na die regterkant van die gelykheid. Dan deel ons die hele vergelyking deur hierdie term, en probeer dit uitdruk in die vorm wat in die vorige paragraaf gegee is. Ons het:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Ons het in die segmente die vergelyking van die vlak verkry, aanvanklik in 'n algemene vorm gegee. Dit is opvallend dat die vlak segmente met lengtes van 3, 2 en 6 vir die x-, y- en z-asse onderskeidelik afsny. Die y-as sny die vlak in die negatiewe koördinaatarea.
Wanneer 'n vergelyking in segmente opgestel word, is dit belangrik dat alle veranderlikes deur 'n "+"-teken voorafgegaan word. Slegs in hierdie geval sal die getal waarmee hierdie veranderlike gedeel word die koördinaat wat op die as afgesny is, wys.
Normale vektor en punt op die vliegtuig
Dit is bekend dat een of ander vliegtuig rigtingvektor (3; 0; -1) het. Dit is ook bekend dat dit deur die punt gaan (1; 1; 1). Skryf 'n vergelyking in segmente vir hierdie vlak.
Om hierdie probleem op te los, moet jy eers die algemene vorm vir hierdie tweedimensionele geometriese voorwerp gebruik. Die algemene vorm word geskryf as:
Ax + By + Cz + D=0.
Die eerste drie koëffisiënte hier is die koördinate van die gidsvektor, wat in die probleemstelling gespesifiseer word, dit is:
A=3;
B=0;
C=-1.
Dit bly om die vrye term D te vind. Dit kan bepaal word deur die volgende formule:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Waar die koördinaatwaardes met indeks 1 ooreenstem met die koördinate van 'n punt wat aan die vlak behoort. Ons vervang hul waardes van die toestand van die probleem, ons kry:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nou kan jy die volle vergelyking skryf:
3x - z - 2=0.
Die tegniek vir die omskakeling van hierdie uitdrukking in 'n vergelyking in segmente van die vlak is reeds hierbo gedemonstreer. Pas dit toe:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Die antwoord op die probleem is ontvang. Let daarop dat hierdie vlak slegs die x- en z-asse sny. Vir y is dit parallel.
Twee reguit lyne wat 'n vliegtuig definieer
Uit die verloop van ruimtelike meetkunde weet elke student dat twee arbitrêre lyne 'n vlak uniek definieer indriedimensionele ruimte. Kom ons los 'n soortgelyke probleem op.
Twee lynevergelykings is bekend:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Dit is nodig om die vergelyking van die vlak in segmente neer te skryf wat deur hierdie lyne gaan.
Aangesien albei lyne in die vlak moet lê, beteken dit dat hul vektore (gidse) loodreg op die vektor (gids) vir die vlak moet wees. Terselfdertyd is dit bekend dat die vektorproduk van arbitrêre twee gerigte segmente die resultaat gee in die vorm van koördinate van die derde, loodreg op die twee oorspronklike. Gegewe hierdie eienskap, verkry ons die koördinate van 'n vektor normaal op die verlangde vlak:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Aangesien dit met 'n arbitrêre getal vermenigvuldig kan word, vorm dit 'n nuwe gerigte segment parallel met die oorspronklike een, ons kan die teken van die verkrygde koördinate vervang met die teenoorgestelde (vermenigvuldig met -1), ons kry:
(1; 2; 1).
Ons ken die rigtingvektor. Dit bly om 'n arbitrêre punt van een van die reguitlyne te neem en die algemene vergelyking van die vlak op te stel:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Om hierdie gelykheid in 'n uitdrukking in segmente te vertaal, kry ons:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Daarom sny die vliegtuig al drie asse in die positiewe gebied van die koördinaatstelsel.
Drie punte en 'n vliegtuig
Net soos twee reguit lyne, definieer drie punte 'n vlak uniek in driedimensionele ruimte. Ons skryf die ooreenstemmende vergelyking in segmente as die volgende koördinate van punte wat in die vlak lê bekend is:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Kom ons doen die volgende: bereken die koördinate van twee arbitrêre vektore wat hierdie punte verbind, vind dan die vektor n¯ normaal op die vlak deur die produk van die gevind gerigte segmente te bereken. Ons kry:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Neem die punt P as 'n voorbeeld, stel die vergelyking van die vlak saam:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 of z=0.
Ons het 'n eenvoudige uitdrukking gekry wat ooreenstem met die xy-vlak in die gegewe reghoekige koördinaatstelsel. Dit kan nie in segmente geskryf word nie, aangesien die x- en y-asse aan die vlak behoort, en die lengte van die segment wat op die z-as afgesny is nul is (die punt (0; 0; 0) behoort aan die vlak).
