Een van die fundamentele afdelings van wiskundige analise is integraalrekening. Dit dek die wydste veld van voorwerpe, waar die eerste die onbepaalde integraal is. Dit is die moeite werd om dit as 'n sleutel te posisioneer, wat selfs in hoërskool 'n toenemende aantal perspektiewe en geleenthede openbaar wat hoër wiskunde beskryf.
Voorkoms
Met die eerste oogopslag lyk die integraal heeltemal modern, relevant, maar in die praktyk blyk dit dat dit so vroeg as 1800 vC verskyn het. Egipte word amptelik as die tuisland beskou, aangesien vroeëre bewyse van sy bestaan ons nie bereik het nie. Hy is, weens gebrek aan inligting, al hierdie tyd bloot as 'n verskynsel geposisioneer. Hy het weereens die vlak van ontwikkeling van die wetenskap onder die mense van daardie tye bevestig. Uiteindelik is die werke van antieke Griekse wiskundiges wat terugdateer na die 4de eeu vC gevind. Hulle het 'n metode beskryf waar 'n onbepaalde integraal gebruik is, waarvan die essensie was om die volume of oppervlakte van 'n kromlynige figuur (driedimensioneel) te vinden tweedimensionele vlakke, onderskeidelik). Die berekeningsbeginsel was gebaseer op die verdeling van die oorspronklike figuur in infinitesimale komponente, mits hul volume (oppervlakte) reeds bekend is. Met verloop van tyd het die metode gegroei, Archimedes het dit gebruik om die area van 'n parabool te vind. Soortgelyke berekeninge is terselfdertyd deur wetenskaplikes in antieke China uitgevoer, en hulle was heeltemal onafhanklik van hul Griekse eweknieë in die wetenskap.
Ontwikkeling
Die volgende deurbraak in die 11de eeu nC was die werk van die Arabiese wetenskaplike-"universele" Abu Ali al-Basri, wat die grense verskuif het van wat reeds bekend was, deur formules af te lei gebaseer op die integraal vir die berekening van die somme van rye en die somme van magte van die eerste tot die vierde, met die toepassing van die metode van wiskundige induksie wat aan ons bekend is.
Die gedagtes van moderne tye bewonder hoe die antieke Egiptenare wonderlike argitektoniese monumente geskep het sonder enige spesiale toestelle, behalwe miskien hul hande, maar is die krag van die verstand van wetenskaplikes van daardie tyd nie minder 'n wonderwerk nie? In vergelyking met vandag lyk hul lewe amper primitief, maar die oplossing van onbepaalde integrale is oral afgelei en in die praktyk gebruik vir verdere ontwikkeling.
Die volgende stap het in die 16de eeu plaasgevind, toe die Italiaanse wiskundige Cavalieri die metode van ondeelbares ontwikkel het, wat deur Pierre Fermat opgetel is. Dit was hierdie twee persoonlikhede wat die grondslag gelê het vir die moderne integraalrekening, wat op die oomblik bekend is. Hulle het die konsepte van differensiasie en integrasie, wat voorheen was, verbindas outonome eenhede behandel word. Oor die algemeen was die wiskunde van daardie tye gefragmenteerd, die deeltjies van gevolgtrekkings het op hul eie bestaan, met 'n beperkte omvang. Die pad van eenwording en soeke na gemeenskaplike grond was destyds die enigste ware een, waardeur moderne wiskundige analise die geleentheid gekry het om te groei en te ontwikkel.
Alles het oor tyd verander, insluitend die notasie van die integraal. Oor die algemeen het wetenskaplikes dit met alle middele aangedui, byvoorbeeld, Newton het 'n vierkantige ikoon gebruik waarin hy 'n integreerbare funksie geplaas het of dit eenvoudig langsaan gesit het.
Hierdie teenstrydigheid het voortgeduur tot die 17de eeu, toe die wetenskaplike Gottfried Leibniz, 'n landmerk vir die hele teorie van wiskundige analise, die simbool wat so bekend aan ons bekendgestel is. Die langwerpige "S" is inderdaad gebaseer op hierdie letter van die Latynse alfabet, aangesien dit die som van anti-afgeleides aandui. Die integraal het sy naam gekry danksy Jacob Bernoulli 15 jaar later.
Formele definisie
Die onbepaalde integraal hang direk af van die definisie van die teenafgeleide, so kom ons oorweeg dit eers.
'n Anti-afgeleide is 'n funksie wat die inverse van 'n afgeleide is, in die praktyk word dit ook primitief genoem. Andersins: die anti-afgeleide van 'n funksie d is 'n funksie D waarvan die afgeleide gelyk is aan v V'=v. Die soeke na die anti-afgeleide is die berekening van die onbepaalde integraal, en hierdie proses self word integrasie genoem.
Voorbeeld:
Funksie s(y)=y3, en sy teenafgeleide S(y)=(y4/4).
Die versameling van alle anti-afgeleides van die funksie onder oorweging is die onbepaalde integraal, dit word soos volg aangedui: ∫v(x)dx.
As gevolg van die feit dat V(x) slegs een of ander anti-afgeleide van die oorspronklike funksie is, vind die uitdrukking plaas: ∫v(x)dx=V(x) + C, waar C 'n konstante is. 'n Willekeurige konstante is enige konstante, aangesien die afgeleide daarvan gelyk is aan nul.
Properties
Die eienskappe wat die onbepaalde integraal het, is gebaseer op die hoofdefinisie en die eienskappe van afgeleides.
Kom ons kyk na die sleutelpunte:
- die integraal van die afgeleide van die teenafgeleide is die teenafgeleide self plus 'n arbitrêre konstante С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- die afgeleide van die funksie-integraal is die oorspronklike funksie (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstante word uitgeneem onder die integra alteken ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, waar k arbitrêr is;
- die integraal geneem uit die som is identies gelyk aan die som van die integrale ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Uit die laaste twee eienskappe kan ons aflei dat die onbepaalde integraal lineêr is. Danksy dit het ons: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Om te konsolideer, oorweeg voorbeelde van die oplossing van onbepaalde integrale.
Dit is nodig om die integraal ∫(3sinx + 4cosx)dx: te vind
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Uit die voorbeeld kan ons aflei:weet jy nie hoe om onbepaalde integrale op te los nie? Vind net al die primitiewe! Maar die beginsels van die soektog sal hieronder oorweeg word.
Metodes en voorbeelde
Om die integraal op te los, kan jy die volgende metodes gebruik:
- gebruik die voorbereide tabel;
- integreer deur dele;
- integreer deur die veranderlike te verander;
- bringing under the differential sign.
Tafels
Die maklikste en aangenaamste manier. Op die oomblik spog wiskundige analise met redelik uitgebreide tabelle waarin die basiese formules van onbepaalde integrale geskryf is. Met ander woorde, daar is sjablone wat voor jou ontwikkel is en vir jou bly dit net om dit te gebruik. Hier is 'n lys van die hooftabelposisies waaruit jy byna elke voorbeeld wat 'n oplossing het kan aflei:
- ∫0dy=C, waar C 'n konstante is;
- ∫dy=y + C, waar C 'n konstante is;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, waar C 'n konstante en n - nie-een nommer;
- ∫(1/j)dy=ln|y| + C, waar C 'n konstante is;
- ∫eydy=ey + C, waar C 'n konstante is;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, waar C 'n konstante is;
- ∫cosydy=siny + C, waar C 'n konstante is;
- ∫sinydy=-gesellig + C, waar C 'n konstante is;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, waar C 'n konstante is;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, waar C 'n konstante is;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, waar C 'n konstante is;
- ∫chydy=skaam + C, waar C -konstant;
- ∫shydy=chy + C, waar C 'n konstante is.
Indien nodig, neem 'n paar stappe, bring die integrand na 'n tabelvorm en geniet die oorwinning. Voorbeeld: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Volgens die oplossing is dit duidelik dat die integrand vir die tabelvoorbeeld 'n faktor van 5 kort. Ons tel dit by en vermenigvuldig dit parallel met 1/5 sodat die algemene uitdrukking nie verander nie.
Integrasie deur dele
Beskou twee funksies - z(y) en x(y). Hulle moet deurlopend differensieerbaar wees oor die hele definisiedomein. Volgens een van die differensiasie-eienskappe het ons: d(xz)=xdz + zdx. Deur beide dele van die vergelyking te integreer, kry ons: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Deur die resulterende gelykheid te herskryf, kry ons 'n formule wat die metode van integrasie deur dele beskryf: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Hoekom is dit nodig? Die punt is dat sommige voorbeelde vereenvoudig kan word, voorwaardelik gesproke, verminder ∫zdx na ∫xdz as laasgenoemde naby aan tabelvorm is. Hierdie formule kan ook meer as een keer toegepas word, wat optimale resultate behaal.
Hoe om onbepaalde integrale op hierdie manier op te los:
moet bereken ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
moet bereken ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Veranderlike vervanging
Hierdie beginsel om onbepaalde integrale op te los is nie minder in aanvraag as die twee voriges nie, hoewel dit meer ingewikkeld is. Die metode is soos volg: laat V(x) die integraal van een of ander funksie v(x) wees. In die geval dat die integraal self in die voorbeeld as kompleks oorkom, is daar 'n hoë waarskynlikheid om deurmekaar te raak en die verkeerde pad van oplossing te neem. Om dit te vermy, word die oorgang van die veranderlike x na z geoefen, waarin die algemene uitdrukking visueel vereenvoudig word terwyl die afhanklikheid van z op x gehandhaaf word.
Wiskundig lyk dit so: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), waar x=y(z) 'n substitusie is. En, natuurlik, die inverse funksie z=y-1(x) beskryf volledig die afhanklikheid en verwantskap van veranderlikes. Belangrike nota - die differensiaal dx word noodwendig vervang deur 'n nuwe differensiaal dz, aangesien die vervanging van 'n veranderlike in die onbepaalde integraal die vervanging daarvan oral impliseer, en nie net in die integrand nie.
Voorbeeld:
moet vind ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Pas die vervanging toe z=(s+1)/(s2+2s-5). Dan dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. As gevolg hiervan kry ons die volgende uitdrukking, wat baie maklik is om te bereken:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
moet die integraal vind∫2sesdx
Om op te los, herskryf ons die uitdrukking in die volgende vorm:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Dui aan met a=2e (hierdie stap is nie 'n vervanging vir die argument nie, dit is steeds s), ons bring ons oënskynlik komplekse integraal na 'n elementêre tabelvorm:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Bring onder die differensia alteken
Oor die algemeen is hierdie metode van onbepaalde integrale 'n tweelingbroer van die veranderlike veranderingsbeginsel, maar daar is verskille in die ontwerpproses. Kom ons kyk van naderby.
As ∫v(x)dx=V(x) + C en y=z(x), dan is ∫v(y)dy=V(y) + C.
In hierdie geval moet mens nie die triviale integrale transformasies vergeet nie, waaronder:
- dx=d(x + a), waar a enige konstante is;
- dx=(1 / a)d(ax + b), waar a weer 'n konstante is, maar nie gelyk aan nul nie;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
As ons die algemene geval oorweeg wanneer ons die onbepaalde integraal bereken, kan voorbeelde opgesom word onder die algemene formule w'(x)dx=dw(x).
Voorbeelde:
moet vind ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Aanlyn hulp
In sommige gevalle, waarvan die skuld óf luiheid óf dringende behoefte kan wees, kan jy aanlyn wenke gebruik, of eerder die onbepaalde integrale sakrekenaar gebruik. Ten spyte van al die oënskynlike kompleksiteit en betwisbaarheid van integrale, is hul oplossing onderhewig aan 'n sekere algoritme, wat gebaseer is op die beginsel "indien nie …, dan …".
Natuurlik sal so 'n sakrekenaar nie besonder ingewikkelde voorbeelde baasraak nie, aangesien daar gevalle is waarin die oplossing kunsmatig gevind moet word, "gedwonge" deur sekere elemente in die proses in te voer, omdat die resultaat nie in ooglopende bereik kan word nie. maniere. Ten spyte van al die kontroversie van hierdie stelling, is dit waar, aangesien wiskunde in beginsel 'n abstrakte wetenskap is, en die behoefte om die grense van moontlikhede uit te brei as sy primêre taak beskou. Inderdaad, dit is uiters moeilik om op te beweeg en te ontwikkel volgens gladde, inloopteorieë, so jy moet nie aanneem dat die voorbeelde van die oplossing van onbepaalde integrale wat ons gegee het, die hoogte van moontlikhede is nie. Maar terug na die tegniese kant van dinge. Ten minste om die berekeninge na te gaan, kan u die dienste gebruik waarin alles voor ons geskryf is. As daar 'n behoefte is aan outomatiese berekening van 'n komplekse uitdrukking, kan dit nie afgesien word nie, jy sal moet toevlug tot meer ernstige sagteware. Dit is die moeite werd om eerstens aandag te skenk aan die MatLab-omgewing.
Aansoek
Die oplossing van onbepaalde integrale lyk met die eerste oogopslag heeltemal uit voeling met die werklikheid, aangesien dit moeilik is om die ooglopende toepassingsgebiede te sien. Hulle kan inderdaad nêrens direk gebruik word nie, maar hulle word beskou as 'n noodsaaklike tussenelement in die proses om oplossings af te lei wat in die praktyk gebruik word. Dus, integrasie is omgekeerd van differensiasie, waardeur dit aktief deelneem aan die proses om vergelykings op te los.
Op hul beurt het hierdie vergelykings 'n direkte impak op die oplossing van meganiese probleme, die berekening van trajekte en termiese geleiding – kortom, alles wat die hede uitmaak en die toekoms vorm. Die onbepaalde integraal, voorbeelde waarvan ons hierbo ondersoek het, is slegs met die eerste oogopslag triviaal, aangesien dit die basis is vir die maak van meer en meer nuwe ontdekkings.
