Algebraïese ongelykhede of hul stelsels met rasionale koëffisiënte waarvan die oplossing in integrale of heelgetalle gesoek word. As 'n reël is die aantal onbekendes in Diofantiese vergelykings groter. Dit staan dus ook bekend as onbepaalde ongelykhede. In moderne wiskunde word bogenoemde konsep toegepas op algebraïese vergelykings waarvan die oplossings gesoek word in algebraïese heelgetalle van een of ander uitbreiding van die veld van Q-rasionele veranderlikes, die veld van p-adiese veranderlikes, ens.
Die oorsprong van hierdie ongelykhede
Die studie van die Diofantiese vergelykings is op die grens tussen getalleteorie en algebraïese meetkunde. Om oplossings in heelgetalveranderlikes te vind is een van die oudste wiskundige probleme. Reeds aan die begin van die tweede millennium vC. die ou Babiloniërs het daarin geslaag om stelsels vergelykings met twee onbekendes op te los. Hierdie tak van wiskunde het die meeste in antieke Griekeland gefloreer. Die rekenkunde van Diophantus (ongeveer 3de eeu nC) is 'n betekenisvolle en hoofbron wat verskeie tipes en stelsels vergelykings bevat.
In hierdie boek het Diophantus 'n aantal metodes voorsien om die ongelykhede van die tweede en derde te bestudeergrade wat in die 19de eeu ten volle ontwikkel is. Die skepping van die teorie van rasionale getalle deur hierdie navorser van antieke Griekeland het gelei tot die ontleding van logiese oplossings vir onbepaalde stelsels, wat sistematies in sy boek gevolg word. Alhoewel sy werk oplossings vir spesifieke Diophantynse vergelykings bevat, is daar rede om te glo dat hy ook met verskeie algemene metodes vertroud was.
Die studie van hierdie ongelykhede word gewoonlik met ernstige probleme geassosieer. As gevolg van die feit dat hulle polinome bevat met heelgetalkoëffisiënte F (x, y1, …, y). Op grond hiervan is gevolgtrekkings gemaak dat daar geen enkele algoritme is wat gebruik kan word om vir enige gegewe x te bepaal of die vergelyking F (x, y1, …., y ). Die situasie is oplosbaar vir y1, …, y . Voorbeelde van sulke polinome kan geskryf word.
Die eenvoudigste ongelykheid
ax + by=1, waar a en b relatief heelgetalle en priemgetalle is, het dit 'n groot aantal uitvoerings (as x0, y0 die resultaat word gevorm, dan word die paar veranderlikes x=x0 + b en y=y0 -an, waar n arbitrêr is, sal ook as 'n ongelykheid beskou word). Nog 'n voorbeeld van Diofantiese vergelykings is x2 + y2 =z2. Die positiewe integraaloplossings van hierdie ongelykheid is die lengtes van die klein sye x, y en reghoekige driehoeke, sowel as die skuinssy z met heelgetalsyafmetings. Hierdie getalle staan bekend as Pythagorese getalle. Alle drieling met betrekking tot prime aangeduibogenoemde veranderlikes word gegee deur x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, waar m en n heelgetalle en priemgetalle is (m>n>0).
Diophantus soek in sy Rekenkunde na rasionele (nie noodwendig integrale) oplossings van spesiale tipes van sy ongelykhede. 'n Algemene teorie vir die oplossing van diofantiese vergelykings van die eerste graad is in die 17de eeu deur C. G. Baschet ontwikkel. Ander wetenskaplikes aan die begin van die 19de eeu het hoofsaaklik soortgelyke ongelykhede bestudeer soos ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, waar a, b, c, d, e en f algemeen, heterogeen is, met twee onbekendes van die tweede graad. Lagrange het voortgesette breuke in sy studie gebruik. Gauss vir kwadratiese vorms het 'n algemene teorie ontwikkel wat sommige tipes oplossings onderlê.
In die studie van hierdie tweedegraadse ongelykhede is beduidende vordering eers in die 20ste eeu gemaak. A. Thue het gevind dat die Diofantiese vergelyking a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, waar n≧3, a0, …, a , c is heelgetalle, en a0tn + …+ a kan nie 'n oneindige aantal heelgetaloplossings hê nie. Thue se metode is egter nie behoorlik ontwikkel nie. A. Baker het effektiewe stellings geskep wat ramings gee oor die prestasie van sommige vergelykings van hierdie soort. BN Delaunay het 'n ander metode van ondersoek voorgestel wat van toepassing is op 'n nouer klas van hierdie ongelykhede. Veral die vorm ax3 + y3 =1 is heeltemal op hierdie manier oplosbaar.
Diofantiese vergelykings: oplossingsmetodes
Die teorie van Diophantus het baie rigtings. Dus, 'n bekende probleem in hierdie sisteem is die hipotese dat daar geen nie-triviale oplossing van die Diofantiese vergelykings is xn + y =z n if n ≧ 3 (Fermat se vraag). Die studie van heelgetalvervullings van die ongelykheid is 'n natuurlike veralgemening van die probleem van Pythagorese drieling. Euler het 'n positiewe oplossing van Fermat se probleem vir n=4 gekry. Op grond van hierdie resultaat verwys dit na die bewys van die ontbrekende heelgetal, nie-nul studies van die vergelyking as n 'n onewe priemgetal is.
Die studie oor die besluit is nie voltooi nie. Die probleme met die implementering daarvan hou verband met die feit dat die eenvoudige faktorisering in die ring van algebraïese heelgetalle nie uniek is nie. Die teorie van delers in hierdie stelsel vir baie klasse van priemeksponente n maak dit moontlik om die geldigheid van Fermat se stelling te bevestig. Dus word die lineêre Diofantiese vergelyking met twee onbekendes vervul deur die bestaande metodes en maniere.
Tipes en tipes beskryfde take
Rekenkunde van ringe van algebraïese heelgetalle word ook in baie ander probleme en oplossings van Diofantiese vergelykings gebruik. Sulke metodes is byvoorbeeld toegepas wanneer ongelykhede van die vorm N(a1 x1 +…+ a toegepas word x)=m, waar N(a) die norm van a is, en x1, …, xn integrale rasionale veranderlikes word gevind. Hierdie klas sluit die Pell-vergelyking x2–dy2=1. in
Die waardes a1, …, a wat verskyn, hierdie vergelykings word in twee tipes verdeel. Die eerste tipe - die sogenaamde volledige vorms - sluit vergelykings in waarin onder a daar m lineêr onafhanklike getalle oor die veld van rasionale veranderlikes Q is, waar m=[Q(a1, …, a):Q], waarin daar 'n mate van algebraïese eksponente Q (a1, …, a ) oor Q is. Onvolledige spesies is dié in wat die maksimum getal van 'n i minder as m.
Volledige vorms is eenvoudiger, hul studie is voltooi, en alle oplossings kan beskryf word. Die tweede tipe, onvolledige spesies, is meer ingewikkeld, en die ontwikkeling van so 'n teorie is nog nie voltooi nie. Sulke vergelykings word bestudeer met behulp van Diofantiese benaderings, wat die ongelykheid F(x, y)=C insluit, waar F (x, y) 'n onherleibare, homogene polinoom van graad n≧3 is. Ons kan dus aanneem dat yi→∞. Gevolglik, as yi groot genoeg is, dan sal die ongelykheid die stelling van Thue, Siegel en Roth weerspreek, waaruit dit volg dat F(x, y)=C, waar F is 'n vorm van die derde graad of hoër, kan die onherleibare nie 'n oneindige aantal oplossings hê nie.
Hoe om 'n Diofantiese vergelyking op te los?
Hierdie voorbeeld is 'n taamlik eng klas onder almal. Byvoorbeeld, ten spyte van hul eenvoud, x3 + y3 + z3=N, en x2 +y 2 +z2 +u2 =N is nie by hierdie klas ingesluit nie. Die studie van oplossings is 'n taamlik noukeurig bestudeerde tak van Diofantiese vergelykings, waar die basis die voorstelling deur kwadratiese vorme van getalle is. Lagrange'n stelling geskep wat sê dat die vervulling vir alle natuurlike N bestaan. Enige natuurlike getal kan voorgestel word as die som van drie vierkante (Gauss se stelling), maar dit moet nie van die vorm 4a wees (8K- 1), waar a en k nie-negatiewe heelgetaleksponente is.
Rasionele of integrale oplossings vir 'n stelsel van 'n Diofantiese vergelyking van tipe F (x1, …, x)=a, waar F (x 1, …, x) is 'n kwadratiese vorm met heelgetalkoëffisiënte. Dus, volgens die Minkowski-Hasse-stelling, is die ongelykheid ∑aijxixj=b ijen b is rasionaal, het 'n integrale oplossing in reële en p-adiese getalle vir elke priemgetal p slegs as dit in hierdie struktuur oplosbaar is.
As gevolg van die inherente probleme, is die studie van getalle met arbitrêre vorme van die derde graad en hoër in 'n mindere mate bestudeer. Die hoofuitvoeringsmetode is die metode van trigonometriese somme. In hierdie geval word die aantal oplossings vir die vergelyking eksplisiet in terme van die Fourier-integraal geskryf. Daarna word die omgewingsmetode gebruik om die aantal vervulling van die ongelykheid van die ooreenstemmende kongruensies uit te druk. Die metode van trigonometriese somme hang af van die algebraïese kenmerke van die ongelykhede. Daar is 'n groot aantal elementêre metodes om lineêre Diofantiese vergelykings op te los.
Diofantiese analise
Departement van wiskunde, waarvan die onderwerp die studie is van integrale en rasionale oplossings van stelsels van vergelykings van algebra deur metodes van meetkunde, van dieselfdesfere. In die tweede helfte van die 19de eeu het die ontstaan van hierdie get alteorie gelei tot die studie van die Diofantynse vergelykings vanuit 'n arbitrêre veld met koëffisiënte, en oplossings is óf daarin óf in sy ringe oorweeg. Die stelsel van algebraïese funksies het parallel met getalle ontwikkel. Die basiese analogie tussen die twee, wat deur D. Hilbert en veral L. Kronecker beklemtoon is, het gelei tot die eenvormige konstruksie van verskeie rekenkundige konsepte, wat gewoonlik globaal genoem word.
Dit is veral opvallend as die algebraïese funksies wat oor 'n eindige veld van konstantes bestudeer word, een veranderlike is. Konsepte soos klasveldteorie, deler en vertakking en resultate is 'n goeie illustrasie van bogenoemde. Hierdie standpunt is eers later in die stelsel van Diofantiese ongelykhede oorgeneem, en sistematiese navorsing, nie net met numeriese koëffisiënte nie, maar ook met koëffisiënte wat funksies is, het eers in die 1950's begin. Een van die deurslaggewende faktore in hierdie benadering was die ontwikkeling van algebraïese meetkunde. Die gelyktydige studie van die velde van getalle en funksies, wat as twee ewe belangrike aspekte van dieselfde onderwerp ontstaan, het nie net elegante en oortuigende resultate gelewer nie, maar het gelei tot die wedersydse verryking van die twee onderwerpe.
In algebraïese meetkunde word die idee van 'n variëteit vervang deur 'n nie-invariante stel ongelykhede oor 'n gegewe veld K, en hul oplossings word vervang deur rasionale punte met waardes in K of in sy eindige uitbreiding. 'n Mens kan gevolglik sê dat die fundamentele probleem van Diofantiese meetkunde die studie van rasionale punte isvan 'n algebraïese versameling X(K), terwyl X sekere getalle in die veld K is. Heelgetaluitvoering het 'n meetkundige betekenis in lineêre Diofantynse vergelykings.
Ongelykheidstudies en uitvoeringsopsies
Wanneer rasionele (of integrale) punte op algebraïese variëteite bestudeer word, ontstaan die eerste probleem, wat hul bestaan is. Hilbert se tiende probleem word geformuleer as die probleem om 'n algemene metode te vind om hierdie probleem op te los. In die proses om 'n presiese definisie van die algoritme te skep en nadat dit bewys is dat daar nie sulke uitvoerings vir 'n groot aantal probleme is nie, het die probleem 'n duidelike negatiewe resultaat verkry, en die interessantste vraag is die definisie van klasse van Diofantiese vergelykings waarvoor bogenoemde stelsel bestaan. Die mees natuurlike benadering, vanuit 'n algebraïese oogpunt, is die sogenaamde Hasse-beginsel: die beginveld K word saam met sy voltooiings Kv oor alle moontlike skattings bestudeer. Aangesien X(K)=X(Kv) 'n noodsaaklike voorwaarde vir bestaan is, en die K-punt neem in ag dat die versameling X(Kv)) is nie leeg vir alle v.
Die belangrikheid lê in die feit dat dit twee probleme bymekaar bring. Die tweede een is baie eenvoudiger, dit is oplosbaar deur 'n bekende algoritme. In die besondere geval waar die variëteit X projektief is, maak Hansel se lemma en sy veralgemenings verdere reduksie moontlik: die probleem kan gereduseer word tot die studie van rasionele punte oor 'n eindige veld. Dan besluit hy om 'n konsep te bou, hetsy deur konsekwente navorsing of meer effektiewe metodes.
Laaste'n belangrike oorweging is dat die versamelings X(Kv) nie-leeg is vir almal behalwe vir 'n eindige aantal v, dus is die aantal toestande altyd eindig en hulle kan effektief getoets word. Hasse se beginsel is egter nie van toepassing op graadkurwes nie. Byvoorbeeld, 3x3 + 4y3=5 het punte in alle p-adiese getalvelde en in stelsel van reële getalle, maar het geen rasionale punte nie.
Hierdie metode het gedien as 'n beginpunt vir die konstruering van 'n konsep wat die klasse van die belangrikste homogene ruimtes van Abeliese variëteite beskryf om 'n "afwyking" van die Hasse-beginsel uit te voer. Dit word beskryf in terme van 'n spesiale struktuur wat met elke spruitstuk (Tate-Shafarevich-groep) geassosieer kan word. Die grootste probleem van die teorie lê in die feit dat metodes vir die berekening van groepe moeilik is om te verkry. Hierdie konsep is ook uitgebrei na ander klasse algebraïese variëteite.
Soek vir 'n algoritme om ongelykhede te vervul
Nog 'n heuristiese idee wat gebruik word in die studie van Diofantiese vergelykings is dat as die aantal veranderlikes betrokke by 'n stel ongelykhede groot is, dan het die stelsel gewoonlik 'n oplossing. Dit is egter baie moeilik om vir enige spesifieke geval te bewys. Die algemene benadering tot probleme van hierdie tipe maak gebruik van analitiese get alteorie en is gebaseer op skattings vir trigonometriese somme. Hierdie metode is oorspronklik op spesiale soorte vergelykings toegepas.
Later is dit egter met die hulp daarvan bewys dat as die vorm van 'n onewe graad F is, in den n veranderlikes en met rasionale koëffisiënte, dan is n groot genoeg in vergelyking met d, dus het die projektiewe hiperoppervlak F=0 'n rasionale punt. Volgens Artin se vermoede is hierdie resultaat waar selfs al is n > d2. Dit is slegs bewys vir kwadratiese vorms. Soortgelyke probleme kan ook vir ander velde gevra word. Die sentrale probleem van Diofantynse meetkunde is die struktuur van die stel heelgetal- of rasionale punte en hul studie, en die eerste vraag wat uitgeklaar moet word, is of hierdie versameling eindig is. In hierdie probleem het die situasie gewoonlik 'n eindige aantal uitvoerings as die graad van die stelsel baie groter is as die aantal veranderlikes. Dit is die basiese aanname.
Ongelykhede op lyne en kurwes
Die groep X(K) kan voorgestel word as 'n direkte som van 'n vrye struktuur van rang r en 'n eindige groep van orde n. Sedert die 1930's is die vraag of hierdie getalle begrens is op die stel van alle elliptiese krommes oor 'n gegewe veld K. Die begrensdheid van die torsie n is in die sewentigerjare gedemonstreer. Daar is kurwes van arbitrêre hoë rang in die funksionele geval. In die numeriese geval is daar steeds geen antwoord op hierdie vraag nie.
Laastens stel Mordell se vermoede dat die aantal integrale punte eindig is vir 'n kromme van genus g>1. In die funksionele geval is hierdie konsep in 1963 deur Yu. I. Manin gedemonstreer. Die belangrikste hulpmiddel wat gebruik word om eindigheidsstellings in Diofantynse meetkunde te bewys, is die hoogte. Van die algebraïese variëteite is dimensies bo een abeliesspruitstukke, wat die multidimensionele analoë van elliptiese krommes is, is die deeglikste bestudeer.
A. Weil het die stelling oor die eindigheid van die aantal opwekkers van 'n groep rasionele punte veralgemeen na Abeliese variëteite van enige dimensie (die Mordell-Weil-konsep), en dit uitgebrei. In die 1960's het die vermoede van Birch en Swinnerton-Dyer verskyn, wat hierdie en die groep en die zeta-funksies van die veelvuldige verbeter het. Numeriese bewyse ondersteun hierdie hipotese.
Oplosbaarheidsprobleem
Die probleem om 'n algoritme te vind wat gebruik kan word om te bepaal of enige Diofantiese vergelyking 'n oplossing het. 'n Essensiële kenmerk van die probleem wat gestel word, is die soeke na 'n universele metode wat geskik sal wees vir enige ongelykheid. So 'n metode sal ook die oplossing van bogenoemde stelsels moontlik maak, aangesien dit gelykstaande is aan P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 of p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Die probleem om so 'n universele manier te vind om oplossings vir lineêre ongelykhede in heelgetalle te vind, is deur D gestel. Gilbert.
In die vroeë 1950's het die eerste studies verskyn wat daarop gemik was om die nie-bestaan van 'n algoritme vir die oplossing van Diofantiese vergelykings te bewys. Op hierdie tydstip het die Davis-vermoede verskyn, wat gesê het dat enige ontelbare stel ook aan die Griekse wetenskaplike behoort. Omdat voorbeelde van algoritmies onbeslisbare stelle bekend is, maar rekursief optelbaar is. Dit volg dat die Davis-veronderstelling waar is en die probleem van oplosbaarheid van hierdie vergelykingshet 'n negatiewe uitvoering.
Daarna, vir die Davis-vermoede, bly dit nog om te bewys dat daar 'n metode is om 'n ongelykheid te transformeer wat ook (of nie) terselfdertyd 'n oplossing het nie. Daar is aangetoon dat so 'n verandering van die Diofantiese vergelyking moontlik is as dit bogenoemde twee eienskappe het: 1) in enige oplossing van hierdie tipe v ≦ uu; 2) vir enige k is daar 'n uitvoering met eksponensiële groei.
'n Voorbeeld van 'n lineêre Diofantiese vergelyking van hierdie klas het die bewys voltooi. Die probleem van die bestaan van 'n algoritme vir die oplosbaarheid en herkenning van hierdie ongelykhede in rasionale getalle word steeds as 'n belangrike en oop vraag beskou wat nie genoegsaam bestudeer is nie.
