Die vooruitgang van die mensdom is grootliks te danke aan die ontdekkings wat deur genieë gemaak is. Een van hulle is Blaise Pascal. Sy kreatiewe biografie bevestig weereens die waarheid van Lion Feuchtwanger se uitdrukking "'n talentvolle persoon, talentvol in alles." Al die wetenskaplike prestasies van hierdie groot wetenskaplike is moeilik om te tel. Onder hulle is een van die mees elegante uitvindings in die wêreld van wiskunde – Pascal se driehoek.
'n Paar woorde oor genie
Blaise Pascal is vroeg oorlede volgens moderne standaarde, op die ouderdom van 39. In sy kort lewe het hy hom egter onderskei as 'n uitstaande fisikus, wiskundige, filosoof en skrywer. Dankbare afstammelinge het die eenheid van druk en die gewilde programmeertaal Pascal ter ere van hom genoem. Dit word al amper 60 jaar lank gebruik om te leer hoe om verskeie kodes te skryf. Byvoorbeeld, met die hulp daarvan kan elke student 'n program skryf om die oppervlakte van 'n driehoek in Pascal te bereken, asook die eienskappe van die stroombaan te verken, ongeveerwat hieronder bespreek sal word.
Die aktiwiteit van hierdie wetenskaplike met buitengewone denke strek oor 'n wye verskeidenheid velde van wetenskap. Blaise Pascal is veral een van die stigters van hidrostatika, wiskundige analise, sommige gebiede van meetkunde en waarskynlikheidsteorie. Hy:
- het 'n meganiese sakrekenaar geskep bekend as die Pascal-wiel;
- het eksperimentele bewys gelewer dat lug elastisiteit en gewig het;
- vasgestel dat 'n barometer gebruik kan word om die weer te voorspel;
- het die kruiwa uitgevind;
- het die omnibus uitgevind - perdekarre met vaste roetes, wat later die eerste tipe gewone openbare vervoer geword het, ens.
Pascal se rekenkundige driehoek
Soos reeds genoem, het hierdie groot Franse wetenskaplike 'n groot bydrae tot wiskundige wetenskap gemaak. Een van sy absolute wetenskaplike meesterstukke is die "Treatise on the Arithmetic Triangle", wat bestaan uit binomiale koëffisiënte wat in 'n sekere volgorde gerangskik is. Die eienskappe van hierdie skema is opvallend in hul diversiteit, en dit self bevestig die spreekwoord "Alles vernuftig is eenvoudig!".
'n bietjie geskiedenis
Om eerlik te wees, moet gesê word dat Pascal se driehoek in werklikheid reeds in die begin van die 16de eeu in Europa bekend was. Sy beeld kan veral op die voorblad van 'n rekenkundige handboek deur die bekende sterrekundige Peter Apian van die Universiteit van Ingolstadt gesien word. 'n Soortgelyke driehoek word ook as 'n illustrasie getoon.in 'n boek deur die Chinese wiskundige Yang Hui, gepubliseer in 1303. Die merkwaardige Persiese digter en filosoof Omar Khayyam was ook aan die begin van die 12de eeu bewus van die eienskappe daarvan. Boonop word geglo dat hy hom ontmoet het uit die verhandelings van Arabiese en Indiese wetenskaplikes wat vroeër geskryf is.
Beskrywing
Voordat jy die interessantste eienskappe van Pascal se driehoek, pragtig in sy volmaaktheid en eenvoud, verken, is dit die moeite werd om te weet wat dit is.
Wetenskaplik gesproke is hierdie numeriese skema 'n eindelose driehoekige tabel wat gevorm word uit binomiale koëffisiënte wat in 'n sekere volgorde gerangskik is. Aan sy bokant en aan die kante is die getalle 1. Die oorblywende posisies word beset deur getalle gelyk aan die som van die twee getalle wat bokant hulle langs mekaar geleë is. Boonop is alle lyne van Pascal se driehoek simmetries om sy vertikale as.
Basiese kenmerke
Pascal se driehoek tref met sy volmaaktheid. Vir enige reël genommer n (n=0, 1, 2…) waar:
- eerste en laaste nommers is 1;
- tweede en voorlaaste - n;
- die derde getal is gelyk aan die driehoekige getal (die aantal sirkels wat in 'n gelyksydige driehoek gerangskik kan word, d.w.s. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Die vierde getal is viervlakkig, dit wil sê dit is 'n piramide met 'n driehoek by die basis.
Boonop, relatief onlangs, in 1972, is nog 'n eiendom van Pascal se driehoek gevestig. In orde vir homom uit te vind, moet jy die elemente van hierdie skema skryf in die vorm van 'n tabel met 'n ryverskuiwing met 2 posisies. Let dan op die getalle wat deur die lynnommer deelbaar is. Dit blyk dat die nommer van die kolom waarin al die getalle uitgelig is 'n priemgetal is.
Dieselfde truuk kan op 'n ander manier gedoen word. Om dit te doen, in Pascal se driehoek, word die getalle vervang deur die res van hul deling deur die rynommer in die tabel. Dan word die lyne in die resulterende driehoek gerangskik sodat die volgende een 2 kolomme na regs van die eerste element van die vorige een begin. Dan sal die kolomme met getalle wat priemgetalle is slegs uit nulle bestaan, en dié met saamgestelde getalle sal ten minste een nul bevat.
Verbinding met Newton se binomiaal
Soos jy weet, is dit die naam van die formule vir die uitbreiding in terme van 'n nie-negatiewe heelgetalmag van die som van twee veranderlikes, wat soos volg lyk:
Die koëffisiënte teenwoordig daarin is gelyk aan C m =n! / (m! (n - m)!), waar m die ranggetal in ry n van Pascal se driehoek is. Met ander woorde, met hierdie tabel byderhand, kan jy maklik enige getalle tot 'n mag verhef, nadat jy hulle voorheen in twee terme ontbind het.
Dus is Pascal se driehoek en Newton se binomiaal nou verwant.
Math Wonders
'n Noukeurige ondersoek van Pascal se driehoek toon dat:
- die som van alle getalle in die lyn metreeksnommer n (tel vanaf 0) is 2;
- as die lyne linksbelyn is, dan is die somme van getalle wat langs die hoeklyne van Pascal se driehoek geleë is, van onder na bo en van links na regs, gelyk aan Fibonacci-getalle;
- die eerste "diagonaal" bestaan uit natuurlike getalle in volgorde;
- enige element van Pascal se driehoek, verminder met een, is gelyk aan die som van alle getalle wat binne die parallelogram geleë is, wat beperk word deur die linker- en regterhoeklyne wat hierdie getal sny;
- in elke lyn van die diagram is die som van getalle op ewe plekke gelyk aan die som van elemente op onewe plekke.
Sierpinski-driehoek
So 'n interessante wiskundige skema, baie belowend in terme van die oplossing van komplekse probleme, word verkry deur die ewe getalle van die Pascal-beeld in een kleur in te kleur, en die onewe getalle in 'n ander.
Die Sierpinski-driehoek kan op 'n ander manier gebou word:
- in die geskakeerde Pascal-skema word die middelste driehoek in 'n ander kleur geverf, wat gevorm word deur die middelpunte van die sye van die oorspronklike een te verbind;
- doen presies dieselfde met drie ongeverfde in die hoeke;
- as die prosedure onbepaald voortgesit word, moet die resultaat 'n tweekleurige figuur wees.
Die interessantste eienskap van die Sierpinski-driehoek is sy selfooreenkoms, aangesien dit uit 3 van sy kopieë bestaan, wat met 2 keer verklein word. Dit laat ons toe om hierdie skema toe te skryf aan fraktale kurwes, en hulle, soos getoon deur die nuutstenavorsing is die beste geskik vir wiskundige modellering van wolke, plante, rivierdeltas en die heelal self.
Verskeie interessante take
Waar word Pascal se driehoek gebruik? Voorbeelde van take wat met die hulp daarvan opgelos kan word, is redelik uiteenlopend en behoort tot verskeie velde van die wetenskap. Kom ons kyk na 'n paar van die meer interessantes.
Probleem 1. Een of ander groot stad omring deur 'n vestingmuur het net een ingangshek. By die eerste kruising verdeel die hoofpad in twee. Dieselfde gebeur op enige ander. 210 mense gaan die stad binne. By elk van die kruisings wat hulle ontmoet, word hulle in die helfte verdeel. Hoeveel mense sal by elke kruising gevind word wanneer dit nie meer moontlik sal wees om te deel nie. Haar antwoord is lyn 10 van Pascal se driehoek (die koëffisiëntformule word hierbo aangebied), waar die getalle 210 aan beide kante van die vertikale as geleë is.
Taak 2. Daar is 7 name van kleure. Jy moet 'n ruiker van 3 blomme maak. Dit is nodig om uit te vind op hoeveel verskillende maniere dit gedoen kan word. Hierdie probleem kom uit die veld van kombinatorika. Om dit op te los, gebruik ons weer Pascal se driehoek en kry op die 7de lyn in die derde posisie (nommering in beide gevalle vanaf 0) die getal 35.
Nou weet jy wat die groot Franse filosoof en wetenskaplike Blaise Pascal uitgevind het. Die bekende driehoek, wanneer dit korrek gebruik word, kan 'n ware lewensredder word om baie probleme op te los, veral vanuit die veldkombinatorika. Daarbenewens kan dit gebruik word om talle raaisels op te los wat met fraktale verband hou.
