Pythagoras het aangevoer dat die getal onderliggend is aan die wêreld saam met die basiese elemente. Plato het geglo dat die getal die verskynsel en die noumenon verbind, wat help om te herken, meet en gevolgtrekkings te maak. Rekenkunde kom van die woord "arithmos" - 'n getal, die begin van die begin in wiskunde. Dit kan enige voorwerp beskryf - van 'n elementêre appel tot abstrakte ruimtes.
Behoeftes as 'n ontwikkelingsfaktor
In die vroeë stadiums van die vorming van die samelewing was mense se behoeftes beperk tot die behoefte om tel te hou - een sak graan, twee sakke graan, ens. Hiervoor was natuurlike getalle genoeg, waarvan die stel is 'n oneindige positiewe ry van heelgetalle N.
Later, met die ontwikkeling van wiskunde as 'n wetenskap, was daar 'n behoefte aan 'n aparte veld van heelgetalle Z - dit sluit negatiewe waardes en nul in. Die voorkoms daarvan op huishoudelike vlak is uitgelok deur die feit dat dit in die primêre rekeningkunde nodig was om op een of ander manier reg te stelskulde en verliese. Op 'n wetenskaplike vlak het negatiewe getalle dit moontlik gemaak om die eenvoudigste lineêre vergelykings op te los. Onder andere het die beeld van 'n triviale koördinaatstelsel nou moontlik geword, aangesien 'n verwysingspunt verskyn het.
Die volgende stap was die behoefte om breukgetalle in te voer, aangesien die wetenskap nie stilgestaan het nie, het meer en meer ontdekkings 'n teoretiese basis vir 'n nuwe groei-impuls vereis. Dit is hoe die veld van rasionale getalle verskyn Q.
Uiteindelik het rasionaliteit opgehou om versoeke te bevredig, omdat alle nuwe gevolgtrekkings regverdiging vereis het. Daar het die veld van reële getalle R verskyn, die werke van Euclides oor die onvergelykbaarheid van sekere hoeveelhede as gevolg van hul irrasionaliteit. Dit wil sê, antieke Griekse wiskundiges het die getal nie net as 'n konstante geposisioneer nie, maar ook as 'n abstrakte hoeveelheid, wat gekenmerk word deur die verhouding van onvergelykbare hoeveelhede. As gevolg van die feit dat reële getalle verskyn het, het sulke hoeveelhede soos "pi" en "e" "die lig gesien", waarsonder moderne wiskunde nie kon plaasvind nie.
Die finale innovasie was die komplekse getal C. Dit het 'n aantal vrae beantwoord en die voorheen ingevoerde postulate weerlê. As gevolg van die vinnige ontwikkeling van algebra, was die uitkoms voorspelbaar - met reële getalle was dit onmoontlik om baie probleme op te los. Byvoorbeeld, danksy komplekse getalle, het die teorie van snare en chaos uitgestaan, en die vergelykings van hidrodinamika het uitgebrei.
Versamelingsteorie. Kantor
Die konsep van oneindigheid te alle tyekontroversie veroorsaak, aangesien dit nie bewys of weerlê kon word nie. In die konteks van wiskunde, wat met streng geverifieerde postulate gewerk het, het dit die duidelikste gemanifesteer, veral omdat die teologiese aspek nog gewig in die wetenskap gehad het.
Danksy die werk van die wiskundige Georg Kantor het alles mettertyd in plek geval. Hy het bewys dat daar 'n oneindige aantal oneindige versamelings is, en dat die veld R groter is as die veld N, selfs al het hulle albei geen einde nie. In die middel van die 19de eeu is sy idees luidkeels onsin en 'n misdaad teen klassieke, onwrikbare kanonne genoem, maar tyd het alles op sy plek gesit.
Basiese eienskappe van die veld R
Reële getalle het nie net dieselfde eienskappe as die subversamelings wat daarby ingesluit is nie, maar word ook deur ander aangevul as gevolg van die skaal van hul elemente:
- Nul bestaan en behoort aan die veld R. c + 0=c vir enige c van R.
- Nul bestaan en behoort aan die veld R. c x 0=0 vir enige c van R.
- Die verband c: d vir d ≠ 0 bestaan en is geldig vir enige c, d vanaf R.
- Die veld R is georden, dit wil sê as c ≦ d, d ≦ c, dan is c=d vir enige c, d vanaf R.
- Optelling in die veld R is kommutatief, dit wil sê c + d=d + c vir enige c, d vanaf R.
- Vermenigvuldiging in die veld R is kommutatief, dit wil sê c x d=d x c vir enige c, d vanaf R.
- Optelling in die veld R is assosiatief, dit wil sê (c + d) + f=c + (d + f) vir enige c, d, f vanaf R.
- Vermenigvuldiging in die veld R is assosiatief, dit wil sê (c x d) x f=c x (d x f) vir enige c, d, f vanaf R.
- Vir elke getal in die veld R is daar 'n teenoorgestelde, sodat c + (-c)=0, waar c, -c van R is.
- Vir elke getal van die veld R is daar sy inverse, sodat c x c-1 =1, waar c, c-1 van R.
- Die eenheid bestaan en behoort aan R, dus c x 1=c, vir enige c vanaf R.
- Die verspreidingswet is geldig, dus c x (d + f)=c x d + c x f, vir enige c, d, f vanaf R.
- In veld R is nul nie gelyk aan een nie.
- Die veld R is transitief: as c ≦ d, d ≦ f, dan c ≦ f vir enige c, d, f vanaf R.
- In die veld R is volgorde en optelling verwant: as c ≦ d, dan c + f ≦ d + f vir enige c, d, f vanaf R.
- In die veld R is volgorde en vermenigvuldiging verwant: as 0 ≦ c, 0 ≦ d, dan 0 ≦ c x d vir enige c, d vanaf R.
- Beide negatiewe en positiewe reële getalle is kontinu, dit wil sê, vir enige c, d vanaf R, is daar 'n f vanaf R sodat c ≦ f ≦ d.
Module in veld R
Reële getalle sluit modulus in.
Gedui as |f| vir enige f van R. |f|=f as 0 ≦ f en |f|=-f as 0 > f. As ons die modulus as 'n meetkundige grootheid beskou, dan is dit die afstand wat afgelê is - dit maak nie saak of jy nul na minus "verby" het of vorentoe na plus nie.
Komplekse en reële getalle. Wat is die ooreenkomste en wat is die verskille?
In die algemeen is komplekse en reële getalle een en dieselfde, behalwe ditdenkbeeldige eenheid i, waarvan die vierkant -1 is. Die elemente van die velde R en C kan as die volgende formule voorgestel word:
c=d + f x i, waar d, f tot die veld R behoort en i die denkbeeldige eenheid is
Om in hierdie geval c van R te kry, word f eenvoudig gelyk aan nul gestel, dit wil sê, net die werklike deel van die getal bly oor. As gevolg van die feit dat die veld van komplekse getalle dieselfde stel eienskappe het as die veld van reële getalle, f x i=0 as f=0.
Wat praktiese verskille betref, byvoorbeeld, in die R-veld, word die kwadratiese vergelyking nie opgelos as die diskriminant negatief is nie, terwyl die C-veld nie so 'n beperking oplê nie as gevolg van die invoering van die denkbeeldige eenheid i.
Results
Die "stene" van die aksiomas en postulate waarop wiskunde gebaseer is, verander nie. As gevolg van die toename in inligting en die bekendstelling van nuwe teorieë, word die volgende "stene" op sommige daarvan geplaas, wat in die toekoms die basis kan word vir die volgende stap. Byvoorbeeld, natuurlike getalle, ten spyte van die feit dat hulle 'n subset van die reële veld R is, verloor nie hul relevansie nie. Dit is op hulle waarop alle elementêre rekenkunde gebaseer is, waarmee menslike kennis van die wêreld begin.
Vanuit 'n praktiese oogpunt lyk reële getalle soos 'n reguit lyn. Daarop kan jy die rigting kies, die oorsprong en stap aandui.’n Reguitlyn bestaan uit’n oneindige aantal punte, wat elk ooreenstem met’n enkele reële getal, ongeag of dit rasionaal is of nie. Dit is duidelik uit die beskrywing dat ons praat van 'n konsep waarop beide wiskunde in die algemeen en wiskundige analise in die algemeen gebou is.besonders.
