In wiskunde en verwerking is die konsep van 'n analitiese sein (kortweg - C, AC) 'n komplekse funksie wat nie negatiewe frekwensiekomponente het nie. Die werklike en denkbeeldige dele van hierdie verskynsel is werklike funksies wat deur die Hilbert-transform met mekaar verband hou. 'n Analitiese sein is 'n redelik algemene verskynsel in chemie, waarvan die essensie soortgelyk is aan die wiskundige definisie van hierdie konsep.
Optredes
Analitiese voorstelling van 'n werklike funksie is 'n analitiese sein wat die oorspronklike funksie en sy Hilbert-transformasie bevat. Hierdie voorstelling vergemaklik baie wiskundige manipulasies. Die hoofgedagte is dat die negatiewe frekwensiekomponente van die Fourier-transform (of -spektrum) van 'n reële funksie oorbodig is as gevolg van die Hermitiese simmetrie van so 'n spektrum. Hierdie negatiewe frekwensie komponente kan weggegooi word sonderverlies aan inligting, mits jy eerder 'n komplekse funksie wil hanteer. Dit maak sekere kenmerke meer toeganklik en maak dit makliker om modulasie- en demodulasietegnieke soos SSB af te lei.
Negatiewe komponente
Solank die funksie wat gemanipuleer word, geen negatiewe frekwensiekomponente het nie (dws dit is steeds analities), is die omskakeling van kompleks terug na werklik bloot 'n kwessie van die weggooi van die denkbeeldige deel. Die analitiese voorstelling is 'n veralgemening van die konsep van 'n vektor: terwyl 'n vektor beperk is tot 'n tyd-invariante amplitude, fase en frekwensie, maak 'n kwalitatiewe analise van 'n analitiese sein voorsiening vir tydveranderende parameters.
Oombliklike amplitude, oombliklike fase en frekwensie word in sommige toepassings gebruik om plaaslike kenmerke van C te meet en op te spoor. Nog 'n toepassing van die analitiese voorstelling hou verband met die demodulasie van gemoduleerde seine. Poolkoördinate skei gerieflik die effekte van AM- en fase- (of frekwensie) modulasie en demoduleer sekere soorte effektief.
Dan kan 'n eenvoudige laagdeurlaatfilter met werklike koëffisiënte die deel van belang afsny. Nog 'n motief is om die maksimum frekwensie te verlaag, wat die minimum frekwensie vir nie-alias steekproefneming verlaag. Die frekwensieverskuiwing ondermyn nie die wiskundige bruikbaarheid van die voorstelling nie. Dus, in hierdie sin, is afbekeer steeds analities. Maar die herstel van die werklike voorstellingis nie meer 'n eenvoudige saak om bloot die werklike komponent te onttrek nie. Op-omskakeling kan vereis word, en as die sein gemonster word (diskrete tyd), kan interpolasie (opmonstering) ook nodig wees om aliasing te vermy.
Veranderlikes
Die konsep is goed omskryf vir enkelveranderlike verskynsels, wat gewoonlik tydelik is. Hierdie tydelikheid verwar baie beginnende wiskundiges. Vir twee of meer veranderlikes kan analitiese C op verskillende maniere gedefinieer word, en twee benaderings word hieronder aangebied.
Die werklike en denkbeeldige dele van hierdie verskynsel stem ooreen met twee elemente van 'n vektor-gewaardeerde monogene sein, soos gedefinieer vir soortgelyke verskynsels met een veranderlike. Monogenies kan egter op 'n eenvoudige manier uitgebrei word na 'n arbitrêre aantal veranderlikes, wat 'n (n + 1)-dimensionele vektorfunksie skep vir die geval van n-veranderlike seine.
Seinomskakeling
Jy kan 'n werklike sein na 'n analitiese een omskakel deur 'n denkbeeldige (Q)-komponent by te voeg, wat die Hilbert-transformasie van die werklike komponent is.
Terloops, dit is nie nuut in die digitale verwerking daarvan nie. Een van die tradisionele maniere om enkelsyband (SSB) AM te genereer, die faseringsmetode, behels die skep van seine deur 'n Hilbert-transformasie van 'n oudiosein in 'n analoog weerstand-kapasitornetwerk te genereer. Aangesien dit net positiewe frekwensies het, is dit maklik om dit om te skakel na 'n gemoduleerde RF-sein met slegs een syband.
Definisieformules
Analitiese seinuitdrukking is 'n holomorfiese komplekse funksie wat op die grens van die boonste komplekse halfvlak gedefinieer word. Die grens van die boonste halfvlak val saam met die ewekansige, dus word C gegee deur die kartering fa: R → C. Sedert die middel van die vorige eeu, toe Denis Gabor in 1946 voorgestel het om hierdie verskynsel te gebruik om konstante amplitude en fase te bestudeer, die sein het baie toepassings gevind. Die eienaardigheid van hierdie verskynsel is beklemtoon [Vak96], waar aangetoon is dat slegs 'n kwalitatiewe analise van die analitiese sein ooreenstem met die fisiese toestande vir amplitude, fase en frekwensie.
Jongste prestasies
Gedurende die afgelope paar dekades was daar 'n belangstelling in die studie van sein in baie dimensies, gemotiveer deur probleme wat ontstaan in velde wat wissel van beeld-/videoverwerking tot multidimensionele ossillatoriese prosesse in fisika, soos seismiese, elektromagnetiese en gravitasiegolwe. Dit is algemeen aanvaar dat, om analitiese C (kwalitatiewe analise) korrek te veralgemeen na die geval van verskeie dimensies, 'n mens moet staatmaak op 'n algebraïese konstruksie wat die gewone komplekse getalle op 'n gerieflike manier uitbrei. Sulke konstruksies word gewoonlik hiperkomplekse getalle [SKE] genoem.
Laastens behoort dit moontlik te wees om 'n hiperkomplekse analitiese sein fh te konstrueer: Rd → S, waar een of ander algemene hiperkomplekse algebraïese stelsel verteenwoordig word, wat natuurlik al die vereiste eienskappe uitbrei om 'n oombliklike amplitude te verkry enfase.
Studie
'n Aantal referate word gewy aan verskeie kwessies wat verband hou met die korrekte keuse van die hiperkomplekse getallestelsel, die definisie van die hiperkomplekse Fourier-transform en fraksionele Hilbert-transforms vir die bestudering van die oombliklike amplitude en fase. Die meeste van hierdie werk was gebaseer op eienskappe van verskeie ruimtes soos Cd, quaternions, Clearon algebras en Cayley-Dixon konstruksies.
Volgende, ons sal net 'n paar van die werke lys wat gewy is aan die bestudering van die sein in baie dimensies. Sover ons weet, is die eerste werke oor die meerveranderlike metode in die vroeë 1990's verkry. Dit sluit in Ell se werk [Ell92] oor hiperkomplekse transformasies; Bulow se werk oor die veralgemening van die metode van analitiese reaksie (analitiese sein) tot baie metings [BS01] en die werk van Felsberg en Sommer oor monogene seine.
Verdere vooruitsigte
Die hiperkomplekse sein sal na verwagting al die nuttige eienskappe wat ons in die 1D-geval het, uitbrei. Eerstens moet ons die oombliklike amplitude en fase na die metings kan onttrek en veralgemeen. Tweedens word die Fourier-spektrum van 'n komplekse analitiese sein slegs by positiewe frekwensies gehandhaaf, dus verwag ons dat die hiperkomplekse Fourier-transform sy eie hiperwaardeerde spektrum sal hê, wat slegs in een of ander positiewe kwadrant van die hiperkomplekse ruimte gehandhaaf sal word. Want dit is baie belangrik.
Derde, vervoeg dele van 'n komplekse konsepvan die analitiese sein is verwant aan die Hilbert-transform, en ons kan verwag dat die gekonjugeerde komponente in die hiperkomplekse ruimte ook verwant moet wees aan een of ander kombinasie van die Hilbert-transforms. En uiteindelik, inderdaad, 'n hiperkomplekse sein moet gedefinieer word as 'n uitbreiding van een of ander hiperkomplekse holomorfiese funksie van verskeie hiperkomplekse veranderlikes wat op die grens van een of ander vorm in 'n hiperkomplekse ruimte gedefinieer word.
Ons spreek hierdie kwessies in opeenvolgende volgorde aan. Eerstens, ons begin deur na die Fourier-integraalformule te kyk en wys dat die Hilbert-transformasie na 1-D verband hou met die gewysigde Fourier-integraalformule. Hierdie feit stel ons in staat om die oombliklike amplitude, fase en frekwensie te definieer sonder enige verwysing na hiperkomplekse getallestelsels en holomorfiese funksies.
Wysiging van integrale
Ons gaan voort deur die gewysigde Fourier-integraalformule uit te brei na verskeie dimensies, en bepaal al die nodige faseverskuifde komponente wat ons in oombliklike amplitude en fase kan versamel. Tweedens gaan ons oor na die kwessie van die bestaan van holomorfiese funksies van verskeie hiperkomplekse veranderlikes. Na [Sch93] blyk dit dat die kommutatiewe en assosiatiewe hiperkomplekse algebra gegenereer deur 'n stel elliptiese (e2i=−1) generators 'n geskikte ruimte is vir 'n hiperkomplekse analitiese sein om te lewe, ons noem so 'n hiperkomplekse algebra die Schaefers-ruimte en dui aan DitSd.
Daarom word die hiperkompleks van analitiese seine gedefinieer as 'n holomorfiese funksie op die grens van die polskyf / boonste helfte van die vlak in een of ander hiperkomplekse ruimte, wat ons die algemene Schaefers-ruimte noem, en aangedui deur Sd. Ons neem dan die geldigheid van die Cauchy-integraalformule waar vir die funksies Sd → Sd, wat oor 'n hiperoppervlak binne 'n poliskyf in Sd bereken word en lei die ooreenstemmende fraksionele Hilbert-transformasies af wat die hiperkomplekse gekonjugeerde komponente in verband bring. Laastens blyk dit dat die Fourier-transformasie met waardes in die Schaefers-ruimte slegs by nie-negatiewe frekwensies ondersteun word. Danksy hierdie artikel het jy geleer wat 'n analitiese sein is.
