Wat is irrasionale getalle? Hoekom word hulle so genoem? Waar word dit gebruik en wat is dit? Min kan hierdie vrae sonder huiwering beantwoord. Maar in werklikheid is die antwoorde vir hulle redelik eenvoudig, hoewel nie almal dit nodig het nie en in baie seldsame situasies
essensie en benaming
Irrasionale getalle is oneindige nie-periodieke desimale breuke. Die behoefte om hierdie konsep bekend te stel is te wyte aan die feit dat die voorheen bestaande konsepte van reële of reële, heelgetal, natuurlike en rasionale getalle nie meer genoeg was om nuwe opkomende probleme op te los nie. Byvoorbeeld, om te bereken wat die kwadraat van 2 is, moet jy nie-herhalende oneindige desimale desimale gebruik. Daarbenewens het baie van die eenvoudigste vergelykings ook geen oplossing sonder om die konsep van 'n irrasionale getal bekend te stel nie.
Hierdie versameling word aangedui as I. En, soos reeds duidelik is, kan hierdie waardes nie voorgestel word as 'n eenvoudige breuk, in die teller waarvan daar 'n heelgetal sal wees nie, en in die noemer - 'n natuurlike getal.
Vir die eerste keer ooitandersins het Indiese wiskundiges hierdie verskynsel in die 7de eeu vC teëgekom, toe ontdek is dat die vierkantswortels van sommige hoeveelhede nie eksplisiet aangedui kon word nie. En die eerste bewys van die bestaan van sulke getalle word toegeskryf aan die Pythagorese Hippasus, wat dit gedoen het in die proses om 'n gelykbenige reghoekige driehoek te bestudeer. 'n Ernstige bydrae tot die studie van hierdie stel is gemaak deur sommige ander wetenskaplikes wat voor ons era geleef het. Die bekendstelling van die konsep van irrasionale getalle het 'n hersiening van die bestaande wiskundige stelsel behels, en daarom is hulle so belangrik.
Oorsprong van die naam
As verhouding in Latyn beteken "breuk", "verhouding", dan gee die voorvoegsel "ir"
hierdie woord die teenoorgestelde betekenis. Dus, die naam van die stel van hierdie getalle dui aan dat hulle nie met 'n heelgetal of breuk gekorreleer kan word nie, hulle het 'n aparte plek. Dit volg uit hul wese.
Plaas in die algehele klassifikasie
Irrasionale getalle, saam met rasionale getalle, behoort aan die groep reële of reële getalle, wat op hul beurt aan komplekse getalle behoort. Daar is geen subversamelings nie, maar daar is algebraïese en transendentale variëteite, wat hieronder bespreek sal word.
Properties
Aangesien irrasionale getalle deel is van die stel reële getalle, is al hul eienskappe wat in rekenkunde bestudeer word (dit word ook basiese algebraïese wette genoem) op hulle van toepassing.
a + b=b + a (kommutatiwiteit);
(a + b) + c=a + (b + c)(assosiatiwiteit);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (die bestaan van die teenoorgestelde getal);
ab=ba (verplasingswet);
(ab)c=a(bc) (verspreiding);
a(b+c)=ab + ac (verspreidende wet);
a x 1=a
a x 1/a=1 (die bestaan van 'n inverse getal);
Vergelyking word ook uitgevoer in ooreenstemming met algemene wette en beginsels:
As a > b en b > c, dan a > c (oorgang van die verhouding) en. ens.
Natuurlik kan alle irrasionale getalle omgeskakel word deur basiese rekenkunde te gebruik. Daar is geen spesiale reëls hiervoor nie.
Daarbenewens is die aksioma van Archimedes van toepassing op irrasionale getalle. Dit sê dat vir enige twee hoeveelhede a en b, die stelling waar is dat deur a genoeg kere as 'n term te neem, jy b kan oortref.
Gebruik
Ondanks die feit dat jy in die gewone lewe nie dikwels met hulle te doen het nie, kan irrasionale getalle nie getel word nie. Daar is baie van hulle, maar hulle is amper onsigbaar. Ons is oral omring deur irrasionale getalle. Voorbeelde wat vir almal bekend is, is die getal pi, gelyk aan 3, 1415926 …, of e, wat in wese die basis van die natuurlike logaritme is, 2, 718281828 … In algebra, trigonometrie en meetkunde moet hulle voortdurend gebruik word. Terloops, die bekende waarde van die "goue gedeelte", dit wil sê die verhouding van beide die groter deel tot die kleiner, en omgekeerd, is ook
behoort aan hierdie stel. Minder bekende "silwer" - ook.
Hulle is baie dig op die getallelyn geleë, so tussen enige twee waardes wat met die stel rasionales verband hou, sal daar sekerlik 'n irrasionele een voorkom.
Daar is nog baie onopgeloste probleme wat met hierdie stel verband hou. Daar is kriteria soos die maatstaf van irrasionaliteit en die normaliteit van 'n getal. Wiskundiges gaan voort om die mees betekenisvolle voorbeelde te ondersoek vir hul behoort aan een of ander groep. Daar word byvoorbeeld geglo dat e 'n normale getal is, dit wil sê die waarskynlikheid dat verskillende syfers in sy rekord verskyn, is dieselfde. Wat pi betref, is daar nog navorsing daaroor aan die gang. 'n Maatstaf van irrasionaliteit word ook 'n waarde genoem wat wys hoe goed hierdie of daardie getal deur rasionale getalle benader kan word.
Algebraïes en transendentaal
Soos reeds genoem, word irrasionale getalle voorwaardelik in algebraïes en transendentaal verdeel. Voorwaardelik, aangesien, streng gesproke, hierdie klassifikasie gebruik word om die versameling C te verdeel.
Hierdie benaming versteek komplekse getalle, wat reële of reële getalle insluit.
Dus, 'n algebraïese waarde is 'n waarde wat 'n wortel van 'n polinoom is wat nie identies gelyk aan nul is nie. Byvoorbeeld, die vierkantswortel van 2 sal in hierdie kategorie wees omdat dit die oplossing is vir die vergelyking x2 - 2=0.
Alle ander reële getalle wat nie aan hierdie voorwaarde voldoen nie, word transendentaal genoem. Aan hierdie verskeidenheidsluit die bekendste en reeds genoemde voorbeelde in - die getal pi en die basis van die natuurlike logaritme e.
Interessant genoeg is nie een of die tweede oorspronklik deur wiskundiges in hierdie hoedanigheid afgelei nie, hul irrasionaliteit en transendensie is baie jare ná hul ontdekking bewys. Vir pi is die bewys in 1882 gegee en in 1894 vereenvoudig, wat 'n einde gemaak het aan die 2 500 jaar lange kontroversie oor die probleem om die sirkel te vier. Dit word steeds nie ten volle verstaan nie, so moderne wiskundiges het iets om aan te werk. Terloops, die eerste voldoende akkurate berekening van hierdie waarde is deur Archimedes uitgevoer. Voor hom was alle berekeninge te benaderd.
Vir e (die Euler- of Napier-getalle), is bewys van die transendensie daarvan in 1873 gevind. Dit word gebruik om logaritmiese vergelykings op te los.
Ander voorbeelde sluit sinus-, cosinus- en raaklynwaardes vir enige algebraïese nie-nulwaardes in.
