By die woord "oneindigheid" het elke persoon sy eie assosiasies. Baie teken in hul verbeelding die see wat verby die horison gaan, terwyl ander 'n prentjie van 'n eindelose sterrehemel voor hul oë het. Wiskundiges, gewoond daaraan om met getalle te werk, stel die oneindigheid op 'n heeltemal ander manier voor. Vir baie eeue het hulle probeer om die grootste van die fisiese hoeveelhede te vind wat nodig is om te meet. Een daarvan is die Graham-nommer. Hoeveel nulle daarin is en waarvoor dit gebruik word, sal hierdie artikel vertel.
Oneindig groot getal
In wiskunde is dit die naam van so 'n veranderlike x , indien vir enige gegewe positiewe getal M 'n natuurlike getal N kan spesifiseer sodat vir alle getalle n groter as N die ongelykheid |x | > M. Nee, byvoorbeeld, heelgetal Z kan as oneindig groot beskou word, aangesien dit altyd minder as (Z + 1) sal wees.
'n Paar woorde oor "reuse"
Die grootste getalle wat fisiese betekenis het, word beskou as:
- 1080. Hierdie getal, wat algemeen 'n kwinkwavigintillion genoem word, word gebruik om die benaderde aantal kwarke en leptone (die kleinste deeltjies) in die Heelal aan te dui.
- 1 Google. So 'n getal in die desimale stelsel word geskryf as 'n eenheid met 100 nulle. Volgens sommige wiskundige modelle behoort van die tyd van die oerknal tot die ontploffing van die mees massiewe swart gat van 1 tot 1,5 googol-jare verby te gaan, waarna ons heelal in die laaste stadium van sy bestaan sal beweeg, dit wil sê, ons kan aanvaar dat hierdie nommer 'n sekere fisiese betekenis het.
- 8, 5 x 10185. Planck se konstante is 1,616199 x 10-35 m, dit wil sê in desimale notasie lyk dit soos 0,0000000000000000000000000000000616199 m. Daar is ongeveer 1 googol Planck lengte in 'n duim. Daar word beraam dat ongeveer 8,5 x 10185 Planck-lengtes in ons hele heelal kan pas.
- 277 232 917 – 1. Dit is die grootste bekende priemgetal. As sy binêre notasie 'n redelik kompakte vorm het, sal dit nie minder nie as 13 miljoen karakters neem om dit in desimale vorm uit te beeld. Dit is in 2017 gevind as deel van 'n projek om na Mersenne-nommers te soek. As entoesiaste voortgaan om in hierdie rigting te werk, is dit onwaarskynlik dat hulle op die huidige vlak van ontwikkeling van rekenaartegnologie in die nabye toekoms in staat sal wees om 'n Mersenne-nommer 'n orde van grootte groter as 277 232 917 te vind.- 1, hoewel sodie gelukkige wenner sal VS$150 000 ontvang.
- Hugoplex. Hier neem ons net 1 en voeg nulle daarna by in die hoeveelheid van 1 googol. Jy kan hierdie getal as 10^10^100 skryf. Dit is onmoontlik om dit in desimale vorm voor te stel, want as die hele spasie van die Heelal gevul is met stukkies papier, waarop elkeen 0 geskryf sal word met 'n "Word" lettergrootte van 10, dan is in hierdie geval slegs die helfte van al 0 na 1 sal verkry word vir die googolplex-nommer.
- 10^10^10^10^10^1.1. Dit is 'n getal wat die aantal jare toon waarna, volgens die Poincaré-stelling, ons Heelal, as gevolg van ewekansige kwantumskommelings, sal terugkeer na 'n toestand naby vandag.
Hoe Graham se syfers ontstaan het
In 1977 het die bekende gewilder van die wetenskap Martin Gardner 'n artikel in Scientific American gepubliseer oor Graham se bewys van een van die probleme van Ramse se teorie. Daarin noem hy die limiet wat deur die wetenskaplike gestel is, die grootste getal wat ooit in ernstige wiskundige redenasie gebruik is.
Wie is Ronald Lewis Graham
Die wetenskaplike, nou in sy 80's, is in Kalifornië gebore. In 1962 het hy 'n Ph. D in wiskunde van die Universiteit van Berkeley ontvang. Hy het 37 jaar by Bell Labs gewerk en later na AT&T Labs verhuis. Die wetenskaplike het aktief saamgewerk met een van die grootste wiskundiges van die 20ste eeu, Pal Erdős, en is die wenner van baie gesogte toekennings. Graham se wetenskaplike bibliografie bevat meer as 320 wetenskaplike referate.
In die middel-70's was die wetenskaplike geïnteresseerd in die probleem wat met die teorie verband houRamsey. In die bewys daarvan is die boonste grens van die oplossing bepaal, wat 'n baie groot getal is, wat later na Ronald Graham vernoem is.
Hypercube-probleem
Om die kern van die Graham-nommer te verstaan, moet jy eers verstaan hoe dit verkry is.
Die wetenskaplike en sy kollega Bruce Rothschild was besig om die volgende probleem op te los:
Daar is 'n n-dimensionele hiperkubus. Alle pare van sy hoekpunte is so verbind dat 'n volledige grafiek met 2hoekpunte verkry word. Elkeen van sy rande is blou of rooi gekleur. Dit was nodig om die minimum aantal hoekpunte te vind wat 'n hiperkubus moet hê sodat elke so 'n kleursel 'n volledige monochromatiese subgrafiek bevat met 4 hoekpunte wat in dieselfde vlak lê.
Besluit
Graham en Rothschild het bewys dat die probleem 'n oplossing N' het wat voldoen aan die voorwaarde 6 ⩽ N' ⩽N waar N 'n goed gedefinieerde, baie groot getal is.
Die ondergrens vir N is daarna verfyn deur ander wetenskaplikes, wat bewys het dat N groter as of gelyk aan 13 moet wees. Dus het die uitdrukking vir die kleinste aantal hoekpunte van 'n hiperkubus wat aan die voorwaardes hierbo voldoen, geword 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuth se pylnotasie
Voordat jy die Graham-getal definieer, moet jy jouself vertroud maak met die metode van sy simboliese voorstelling, aangesien nóg desimale nóg binêre notasie absoluut geskik is hiervoor.
Tans word Knuth se pylnotasie gebruik om hierdie hoeveelheid voor te stel. Volgens haar:
ab='n "op-pyltjie" b.
Vir die werking van veelvuldige eksponensiëring, is die inskrywing bekendgestel:
a "op-pyltjie" "op-pyltjie" b=ab="'n toring wat bestaan uit a in die aantal b stukke."
En vir pentasie, d.w.s. simboliese aanduiding van herhaalde eksponensiëring van die vorige operateur, het Knuth reeds 3 pyle gebruik.
Deur hierdie notasie vir die Graham-nommer te gebruik, het ons "pyl"-reekse wat in mekaar geneste is, in die hoeveelheid van 64 stuks.
Skaal
Hul beroemde getal, wat die verbeelding prikkel en die grense van menslike bewussyn uitbrei, en dit verby die grense van die Heelal neem, het Graham en sy kollegas dit verkry as 'n boonste grens vir die getal N in die bewys van die hiperkubus probleem hierbo aangebied. Dit is uiters moeilik vir 'n gewone mens om te dink hoe groot sy skaal is.
Die vraag na die aantal karakters, of soos dit soms verkeerdelik gesê word, nulle in Graham se getal, is van belang vir byna almal wat vir die eerste keer van hierdie waarde hoor.
Dit is genoeg om te sê dat ons te doen het met 'n vinnig groeiende reeks wat uit 64 lede bestaan. Selfs sy eerste term is onmoontlik om voor te stel, aangesien dit uit n "torings" bestaan, bestaande uit 3-tot. Reeds sy "onderste vloer" van 3 driedubbels is gelyk aan 7,625,597,484,987, dit wil sê, dit oorskry 7 miljard, wat te sê oor die 64ste vloer (nie 'n lid nie!). Dit is dus tans onmoontlik om presies te sê wat die Graham-getal is, aangesien dit nie genoeg is om dit te bereken nie.die gesamentlike krag van al die rekenaars wat vandag op aarde bestaan.
Rekord gebreek?
In die proses om Kruskal se stelling te bewys, is Graham se getal “van sy voetstuk afgegooi”. Die wetenskaplike het die volgende probleem voorgestel:
Daar is 'n oneindige reeks eindige bome. Kruskal het bewys dat daar altyd 'n gedeelte van een of ander grafiek bestaan, wat beide 'n deel van 'n groter grafiek en die presiese kopie daarvan is. Hierdie stelling wek geen twyfel nie, aangesien dit duidelik is dat daar altyd 'n presiese herhalende kombinasie by die oneindigheid sal wees
Later het Harvey Friedman hierdie probleem ietwat verklein deur slegs sulke asikliese grafieke (bome) te oorweeg dat daar vir 'n spesifieke een met koëffisiënt i hoogstens (i + k) hoekpunte is. Hy het besluit om uit te vind wat die aantal asikliese grafieke moet wees, sodat met hierdie metode van hul taak dit altyd moontlik sou wees om 'n subboom te vind wat in 'n ander boom ingebed sou word.
As gevolg van navorsing oor hierdie kwessie, is gevind dat N, afhangend van k, teen 'n geweldige spoed groei. Veral as k=1, dan is N=3. By k=2 bereik N egter reeds 11. Die interessantste ding begin wanneer k=3. In hierdie geval "styg N vinnig" en bereik 'n waarde wat is baie keer groter as die Graham-getal. Om te dink hoe groot dit is, is dit genoeg om die getal wat deur Ronald Graham bereken is in die vorm van G64 (3) neer te skryf. Dan sal die Friedman-Kruskal-waarde (ds. FinKraskal(3)), van die orde van G(G(187196) wees). Met ander woorde, 'n megawaarde word verkry, wat oneindig groter is'n onvoorstelbare groot Graham-getal. Terselfdertyd sal selfs dit 'n reusagtige aantal kere minder as oneindig wees. Dit maak sin om in meer besonderhede oor hierdie konsep te praat.
Infinity
Nou dat ons verduidelik het wat die Graham-nommer op die vingers is, behoort ons die betekenis te verstaan wat in hierdie filosofiese konsep belê is en word. Immers, "oneindigheid" en "'n oneindig groot aantal" kan in 'n sekere konteks as identies beskou word.
Die grootste bydrae tot die studie van hierdie kwessie is deur Aristoteles gemaak. Die groot denker van die oudheid het oneindigheid in potensiaal en werklik verdeel. Met laasgenoemde het hy die realiteit van die bestaan van oneindige dinge bedoel.
Volgens Aristoteles is die bronne van idees oor hierdie fundamentele konsep:
- tyd;
- skeiding van waardes;
- die konsep van die grens en die bestaan van iets daarbuite;
- die onuitputbaarheid van kreatiewe aard;
- denke wat geen perke het nie.
In die moderne interpretasie van oneindigheid kan jy nie 'n kwantitatiewe maatstaf spesifiseer nie, so die soektog na die grootste getal kan vir ewig aanhou.
Gevolgtrekking
Kan die metafoor "Gaze into infinity" en Graham se nommer in een of ander sin as sinoniem beskou word? Eerder ja en nee. Albei is onmoontlik om voor te stel, selfs met die sterkste verbeelding. Soos reeds genoem, kan dit egter nie as "die meeste, die meeste" beskou word nie. Nog 'n ding is dat waardes wat groter is as die Graham-getal op die oomblik nie vasgestel is niefisiese sin.
Dit het ook nie die eienskappe van 'n oneindige getalnie, soos:
- ∞ + 1=∞;
- daar is 'n oneindige getal van beide onewe en ewe getalle;
- ∞ - 1=∞;
- die aantal onewe getalle is presies die helfte van alle getalle;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Om op te som: Graham se getal is die grootste getal in die praktyk van wiskundige bewyse, volgens die Guinness Book of Records. Daar is egter getalle wat baie keer groter as hierdie waarde is.
Heel waarskynlik sal daar in die toekoms 'n behoefte wees aan selfs groter "reuse", veral as 'n persoon verder gaan as ons sonnestelsel of iets ondenkbaar op die huidige vlak van ons bewussyn uitdink.
