Die aksiomatiese metode is 'n manier om wetenskaplike teorieë te konstrueer wat reeds gevestig is. Dit is gebaseer op argumente, feite, stellings wat nie bewys of weerlegging vereis nie. Trouens, hierdie weergawe van kennis word aangebied in die vorm van 'n deduktiewe struktuur, wat aanvanklik 'n logiese stawing van die inhoud van die grondbeginsels insluit - aksiomas.
Hierdie metode kan nie 'n ontdekking wees nie, maar is slegs 'n klassifiserende konsep. Dit is meer geskik vir onderrig. Die basis bevat die aanvanklike bepalings, en die res van die inligting volg as 'n logiese gevolg. Waar is die aksiomatiese metode om 'n teorie te konstrueer? Dit lê in die kern van die meeste moderne en gevestigde wetenskappe.
Vorming en ontwikkeling van die konsep van aksiomatiese metode, definisie van die woord
In die eerste plek het hierdie konsep in Antieke Griekeland ontstaan danksy Euclid. Hy het die stigter geword van die aksiomatiese metode in meetkunde. Vandag is dit algemeen in alle wetenskappe, maar bowenal in wiskunde. Hierdie metode word gevorm op grond van gevestigde stellings, en daaropvolgende teorieë word deur logiese konstruksie afgelei.
Dit word soos volg verduidelik: daar is woorde en konsepte watgedefinieer deur ander terme. Gevolglik het die navorsers tot die gevolgtrekking gekom dat daar elementêre gevolgtrekkings is wat geregverdig is en konstant is – basies, dit wil sê aksiomas. Wanneer hulle byvoorbeeld 'n stelling bewys, maak hulle gewoonlik staat op feite wat reeds goed gevestig is en nie weerlegging vereis nie.
Voor dit moes hulle egter gestaaf word. In die proses blyk dit dat 'n onredelike stelling as 'n aksioma geneem word. Gebaseer op 'n stel konstante konsepte, word ander stellings bewys. Hulle vorm die basis van planimetrie en is die logiese struktuur van meetkunde. Die gevestigde aksiomas in hierdie wetenskap word gedefinieer as voorwerpe van enige aard. Hulle het op hul beurt eienskappe wat in konstante konsepte gespesifiseer word.
Verdere verkenning van die aksiomas
Die metode is tot in die negentiende eeu as ideaal beskou. Die logiese maniere om na basiese konsepte te soek is nie in daardie dae bestudeer nie, maar in die Euklidiese sisteem kan 'n mens die struktuur waarneem om betekenisvolle gevolge van die aksiomatiese metode te verkry. Die navorsing van die wetenskaplike het die idee getoon hoe om 'n volledige stelsel van meetkundige kennis te kry gebaseer op 'n suiwer deduktiewe pad. Hulle is 'n relatief klein aantal beweerde aksiomas aangebied wat aantoonbaar waar is.
Verdienste van antieke Griekse denke
Euclides het baie konsepte bewys, en sommige van hulle was geregverdig. Die meerderheid skryf hierdie meriete egter toe aan Pythagoras, Demokritus en Hippokrates. Laasgenoemde het 'n volledige kursus van meetkunde saamgestel. True, later in Alexandrië uitgekomversameling "Begin", waarvan die skrywer Euclid was. Toe is dit herdoop na "Elementêre Meetkunde". Na 'n rukkie het hulle hom begin kritiseer op grond van 'n paar redes:
- alle waardes is slegs met 'n liniaal en 'n kompas gebou;
- meetkunde en rekenkunde is geskei en met geldige getalle en konsepte bewys;
- aksiomas, sommige van hulle, veral die vyfde postulaat, is voorgestel om van die algemene lys geskrap te word.
Gevolglik verskyn nie-Euklidiese meetkunde in die 19de eeu, waarin daar geen objektief ware postulaat is nie. Hierdie aksie het stukrag gegee aan die verdere ontwikkeling van die meetkundige stelsel. So het wiskundige navorsers tot deduktiewe konstruksiemetodes gekom.
Ontwikkeling van wiskundige kennis gebaseer op aksiomas
Toe 'n nuwe stelsel van meetkunde begin ontwikkel het, het die aksiomatiese metode ook verander. In wiskunde het hulle meer dikwels na 'n suiwer deduktiewe teorie-konstruksie begin wend. As gevolg hiervan het 'n hele stelsel van bewyse in moderne numeriese logika ontstaan, wat die hoofgedeelte van alle wetenskap is. In die wiskundige struktuur het die behoefte aan regverdiging begin verstaan.
Dus, teen die einde van die eeu, is duidelike take en die konstruksie van komplekse konsepte gevorm, wat uit 'n komplekse stelling gereduseer is tot die eenvoudigste logiese stelling. So het nie-Euklidiese meetkunde 'n stewige grondslag vir die verdere bestaan van die aksiomatiese metode gestimuleer, asook vir die oplossing van probleme van 'n algemene aard.wiskundige konstruksies:
- konsekwentheid;
- volheid;
- onafhanklikheid.
In die proses het 'n metode van interpretasie na vore gekom en is suksesvol ontwikkel. Hierdie metode word soos volg beskryf: vir elke uitsetkonsep in die teorie word 'n wiskundige objek gestel, waarvan die totaliteit 'n veld genoem word. Die stelling oor die gespesifiseerde elemente kan onwaar of waar wees. Gevolglik word stellings benoem na gelang van die gevolgtrekkings.
Kenmerke van die teorie van interpretasie
As 'n reël word die veld en eienskappe ook in die wiskundige stelsel in ag geneem, en dit kan op sy beurt aksiomaties word. Die interpretasie bewys stellings waarin daar relatiewe konsekwentheid is. 'n Bykomende opsie is 'n aantal feite waarin die teorie teenstrydig raak.
Trouens, die voorwaarde word in sommige gevalle vervul. As gevolg hiervan blyk dit dat as daar twee valse of ware konsepte in die stellings van een van die stellings is, dit as negatief of positief beskou word. Hierdie metode is gebruik om die konsekwentheid van Euclides se meetkunde te bewys. Deur die interpretatiewe metode te gebruik, kan 'n mens die vraag oor die onafhanklikheid van sisteme van aksiomas oplos. As jy enige teorie moet weerlê, dan is dit genoeg om te bewys dat een van die konsepte nie van die ander afgelei is nie en foutief is.
Die metode het egter tesame met suksesvolle stellings ook swakhede. Konsekwentheid en onafhanklikheid van sisteme van aksiomas word opgelos as vrae wat resultate kry wat relatief is. Die enigste belangrike prestasie van interpretasie isontdekking van die rol van rekenkunde as 'n struktuur waarin die kwessie van konsekwentheid gereduseer word tot 'n aantal ander wetenskappe.
Moderne ontwikkeling van aksiomatiese wiskunde
Die aksiomatiese metode het begin ontwikkel in die werk van Gilbert. In sy skool is die konsep van teorie en formele sisteem uitgeklaar. As gevolg hiervan het 'n algemene stelsel ontstaan, en wiskundige voorwerpe het presies geword. Daarbenewens het dit moontlik geword om die kwessies van regverdiging op te los. Dus, 'n formele sisteem word gekonstrueer deur 'n presiese klas, wat substelsels van formules en stellings bevat.
Om hierdie struktuur te bou, hoef jy net deur tegniese gerief gelei te word, want hulle het geen semantiese las nie. Hulle kan met tekens, simbole ingeskryf word. Dit wil sê, die sisteem self is so gebou dat die formele teorie voldoende en volledig toegepas kan word.
Gevolglik word 'n spesifieke wiskundige doelwit of taak in 'n teorie gegrond op feitelike inhoud of deduktiewe redenasie. Die taal van numeriese wetenskap word oorgedra na 'n formele sisteem, in die proses word enige konkrete en betekenisvolle uitdrukking deur die formule bepaal.
Formaliseringsmetode
In die natuurlike toestand van dinge sal so 'n metode in staat wees om globale kwessies soos konsekwentheid op te los, asook 'n positiewe essensie van wiskundige teorieë volgens die afgeleide formules te bou. En basies sal dit alles opgelos word deur 'n formele stelsel gebaseer op bewese stellings. Wiskundige teorieë is voortdurend gekompliseer deur regverdigings, enGilbert het voorgestel om hierdie struktuur met behulp van eindige metodes te ondersoek. Maar hierdie program het misluk. Gödel se resultate reeds in die twintigste eeu het tot die volgende gevolgtrekkings gelei:
- natuurlike konsekwentheid is onmoontlik as gevolg van die feit dat geformaliseerde rekenkunde of ander soortgelyke wetenskap van hierdie stelsel onvolledig sal wees;
- onoplosbare formules het verskyn;
- eise is onbewysbaar.
Ware oordele en redelike eindige afwerking word as formaliseerbaar beskou. Met dit in gedagte het die aksiomatiese metode sekere en duidelike grense en moontlikhede binne hierdie teorie.
Resultate van die ontwikkeling van aksiomas in die werke van wiskundiges
Ten spyte van die feit dat sommige oordele weerlê is en nie behoorlik ontwikkel is nie, speel die metode van konstante konsepte 'n beduidende rol in die vorming van die grondslae van wiskunde. Daarbenewens het interpretasie en die aksiomatiese metode in die wetenskap die fundamentele resultate van konsekwentheid, onafhanklikheid van keuse-stellings en hipoteses in meervoudige teorie aan die lig gebring.
Om die kwessie van konsekwentheid aan te spreek, is die belangrikste om nie net gevestigde konsepte toe te pas nie. Hulle moet ook aangevul word met idees, konsepte en maniere van eindige afwerking. In hierdie geval word verskeie sienings, metodes, teorieë oorweeg, wat die logiese betekenis en regverdiging in ag moet neem.
Die konsekwentheid van die formele stelsel dui op 'n soortgelyke afronding van rekenkunde, wat gebaseer is op induksie, telling, transfinite getal. In die wetenskaplike veld is aksiomatisering die belangrikste'n instrument wat onweerlegbare konsepte en stellings het wat as basis geneem word.
Die essensie van aanvanklike stellings en hul rol in teorieë
Evaluering van 'n aksiomatiese metode dui aan dat een of ander struktuur in die essensie daarvan lê. Hierdie stelsel is gebou uit die identifikasie van die onderliggende konsep en fundamentele stellings wat ongedefinieerd is. Dieselfde gebeur met stellings wat as oorspronklik beskou word en sonder bewys aanvaar word. In die natuurwetenskappe word sulke stellings ondersteun deur reëls, aannames, wette.
Dan vind die proses om die gevestigde redenasiebasisse vas te stel plaas. As 'n reël word dadelik aangedui dat 'n ander uit een posisie afgelei word, en in die proses kom die res uit, wat in wese saamval met die deduktiewe metode.
Kenmerke van die stelsel in moderne tye
Die aksiomatiese stelsel sluit in:
- logiese gevolgtrekkings;
- terme en definisies;
- gedeeltelik verkeerde stellings en konsepte.
In moderne wetenskap het hierdie metode sy abstrakheid verloor. Euklidiese geometriese aksiomatisering was gebaseer op intuïtiewe en ware stellings. En die teorie is op 'n unieke, natuurlike manier geïnterpreteer. Vandag is 'n aksioma 'n bepaling wat op sigself voor die hand liggend is, en 'n ooreenkoms, en enige ooreenkoms, kan as 'n aanvanklike konsep dien wat nie regverdiging vereis nie. As gevolg hiervan kan die oorspronklike waardes ver van beskrywend wees. Hierdie metode vereis kreatiwiteit, kennis van verhoudings en onderliggende teorie.
Basiese beginsels om gevolgtrekkings te maak
Deduktief aksiomatiese metode is wetenskaplike kennis, gebou volgens 'n sekere skema, wat gebaseer is op korrek gerealiseerde hipoteses, wat stellings oor empiriese feite aflei. So 'n gevolgtrekking word gebou op grond van logiese strukture, deur harde afleiding. Aksiomas is aanvanklik onweerlegbare stellings wat nie bewys vereis nie.
Tydens aftrekking word sekere vereistes op die aanvanklike konsepte toegepas: konsekwentheid, volledigheid, onafhanklikheid. Soos die praktyk toon, is die eerste voorwaarde gebaseer op formele logiese kennis. Dit wil sê, die teorie behoort nie die betekenisse van waarheid en valsheid te hê nie, want dit sal nie meer betekenis en waarde hê nie.
As hierdie voorwaarde nie nagekom word nie, dan word dit as onversoenbaar beskou en gaan enige betekenis daarin verlore, omdat die semantiese lading tussen waarheid en leuen verlore gaan. Deduktief is die aksiomatiese metode 'n manier om wetenskaplike kennis te konstrueer en te staaf.
Praktiese toepassing van die metode
Die aksiomatiese metode om wetenskaplike kennis te konstrueer het 'n praktiese toepassing. Trouens, hierdie manier beïnvloed en het 'n globale betekenis vir wiskunde, hoewel hierdie kennis reeds sy hoogtepunt bereik het. Voorbeelde van die aksiomatiese metode is soos volg:
- affine vliegtuie het drie stellings en 'n definisie;
- ekwivalensieteorie het drie bewyse;
- binêre verhoudings word verdeel in 'n stelsel van definisies, konsepte en bykomende oefeninge.
As jy die oorspronklike betekenis wil formuleer, moet jy die aard van versamelings en elemente ken. In wese het die aksiomatiese metode die basis van verskeie velde van wetenskap gevorm.
