Selfs by die skool maak alle studente kennis met die konsep van "Euklidiese meetkunde", waarvan die hoofbepalings gefokus is rondom verskeie aksiomas gebaseer op meetkundige elemente soos punt, vlak, lyn, beweging. Almal van hulle saam vorm wat lank reeds bekend is onder die term "Euklidiese ruimte".
Euklidiese ruimte, wie se definisie gebaseer is op die konsep van skalêre vermenigvuldiging van vektore, is 'n spesiale geval van 'n lineêre (affiene) ruimte wat aan 'n aantal vereistes voldoen. Eerstens is die skalaarproduk van vektore absoluut simmetries, dit wil sê die vektor met koördinate (x;y) is kwantitatief identies aan die vektor met koördinate (y;x), maar teenoorgestelde in rigting.
Tweedens, as die skalêre produk van 'n vektor met homself uitgevoer word, dan sal die resultaat van hierdie aksie positief wees. Die enigste uitsondering sal die geval wees wanneer die aanvanklike en finale koördinate van hierdie vektor gelyk aan nul is: in hierdie geval sal sy produk met homself ook gelyk aan nul wees.
Derdens, die skalaarproduk is distributief, dit wil sê, dit is moontlik om een van sy koördinate in die som van twee waardes te ontbind, wat geen veranderinge in die finale resultaat van skalêre vermenigvuldiging van vektore sal meebring nie. Ten vierde, wanneer vektore met dieselfde reële getal vermenigvuldig word, sal hul skalêre produk ook met dieselfde faktor toeneem.
As al hierdie vier voorwaardes nagekom word, kan ons met vertroue sê dat ons 'n Euklidiese ruimte het.
Euklidiese ruimte vanuit 'n praktiese oogpunt kan gekenmerk word deur die volgende spesifieke voorbeelde:
- Die eenvoudigste geval is die teenwoordigheid van 'n stel vektore met 'n skalêre produk gedefinieer volgens die basiese wette van meetkunde.
- Euklidiese ruimte sal ook verkry word as ons met vektore 'n sekere eindige stel reële getalle bedoel met 'n gegewe formule wat hul skalêre som of produk beskryf.
- 'n Spesiale geval van Euklidiese ruimte is die sogenaamde nulruimte, wat verkry word as die skalêre lengte van beide vektore gelyk is aan nul.
Euklidiese ruimte het 'n aantal spesifieke eienskappe. Eerstens kan die skalêre faktor uit hakies geneem word, beide van die eerste en die tweede faktor van die skalêre produk, die resultaat hiervan sal op geen manier verander nie. Tweedens, saam met die verspreiding van die eerste element van die skalaarproduk, tree die verspreiding van die tweede element ook op. Benewens die skalaarsom van vektore, vind distributiwiteit ook plaas in die geval van vektoraftrekking. Ten slotte, derdens, wanneer 'n vektor skalêr met nul vermenigvuldig word, sal die resultaat ook nul wees.
Dus, die Euklidiese ruimte is die belangrikste geometriese konsep wat gebruik word in die oplossing van probleme met die onderlinge rangskikking van vektore relatief tot mekaar, wat gekenmerk word deur so 'n konsep soos die skalêre produk.
