Dikwels word ons in die lewe gekonfronteer met die behoefte om die kanse te bepaal dat 'n gebeurtenis sal plaasvind. Of dit die moeite werd is om 'n loterykaartjie te koop of nie, wat die geslag van die derde kind in die gesin sal wees, of die weer môre helder sal wees of dit weer gaan reën - daar is talle sulke voorbeelde. In die eenvoudigste geval moet jy die aantal gunstige uitkomste deur die totale aantal gebeurtenisse deel. As daar 10 wenkaartjies in die lotto is, en daar is 50 in totaal, dan is die kanse om 'n prys te kry 10/50=0,2, dit wil sê 20 teen 100. Maar wat as daar verskeie gebeurtenisse is, en hulle is naby verwante? In hierdie geval sal ons nie meer belangstel in eenvoudige nie, maar in voorwaardelike waarskynlikheid. Wat hierdie waarde is en hoe dit bereken kan word - dit sal in ons artikel bespreek word.
Konsep
Voorwaardelike waarskynlikheid is die kans dat 'n spesifieke gebeurtenis sal plaasvind, gegewe dat 'n ander verwante gebeurtenis reeds plaasgevind het. Oorweeg 'n eenvoudige voorbeeld met'n muntstuk gooi. As daar nog nie gelykop was nie, dan sal die kanse om koppe of sterte te kry dieselfde wees. Maar as die munt vyf keer in 'n ry gelê het met die wapen omhoog, stem dan in om die 6de, 7de, en selfs meer nog, die 10de herhaling van so 'n uitkoms te verwag, sou onlogies wees. Met elke herhaalde opskrif groei die kanse dat sterte sal verskyn en vroeër of later sal dit uitval.
Voorwaardelike waarskynlikheidsformule
Kom ons vind nou uit hoe hierdie waarde bereken word. Kom ons dui die eerste gebeurtenis aan as B, en die tweede as A. As die kanse van voorkoms van B verskil van nul is, sal die volgende gelykheid geldig wees:
P (A|B)=P (AB) / P (B), waar:
- P (A|B) – voorwaardelike waarskynlikheid van uitkoms A;
- P (AB) - die waarskynlikheid van gesamentlike voorkoms van gebeurtenisse A en B;
- P (B) – waarskynlikheid van gebeurtenis B.
Deur hierdie verhouding effens te transformeer, kry ons P (AB)=P (A|B)P (B). En as ons die metode van induksie toepas, dan kan ons die produkformule aflei en dit vir 'n arbitrêre aantal gebeurtenisse gebruik:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Oefen
Om dit makliker te maak om te verstaan hoe die voorwaardelike waarskynlikheid van 'n gebeurtenis bereken word, kom ons kyk na 'n paar voorbeelde. Gestel daar is 'n vaas wat 8 sjokolades en 7 kruisemente bevat. Hulle is ewe groot en ewekansig.twee van hulle word agtereenvolgens uitgetrek. Wat is die kanse dat albei van hulle sjokolade sal wees? Kom ons stel notasie voor. Laat die resultaat A beteken dat die eerste lekkergoed sjokolade is, die resultaat B is die tweede sjokolade lekkergoed. Dan kry jy die volgende:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Kom ons oorweeg nog een geval. Gestel daar is 'n gesin van twee kinders en ons weet dat ten minste een kind 'n meisie is.
Wat is die voorwaardelike waarskynlikheid dat hierdie ouers nog nie seuns het nie? Soos in die vorige geval, begin ons met notasie. Laat P(B) die waarskynlikheid wees dat daar ten minste een meisie in die gesin is, P(A|B) die waarskynlikheid wees dat die tweede kind ook 'n meisie is, P(AB) die kanse dat daar twee meisies in is die gesin. Kom ons doen nou die berekeninge. In totaal kan daar 4 verskillende kombinasies van die geslag van kinders wees, en in hierdie geval, slegs in een geval (wanneer daar twee seuns in die gesin is), sal daar geen meisie onder die kinders wees nie. Daarom is die waarskynlikheid P (B)=3/4, en P (AB)=1/4. Dan, volgens ons formule, kry ons:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Die resultaat kan soos volg geïnterpreteer word: as ons nie die geslag van een van die kinders geweet het nie, dan sou die kanse van twee meisies 25 teenoor 100 wees. Maar aangesien ons weet dat een kind 'n meisie is, is die waarskynlikheid dat die familie van seuns nee, toeneem tot een derde.
