Die vyfhoekige prisma om probleme in meetkunde op te los is baie minder algemeen as prismas soos driehoekig, vierhoekig of seskantig. Dit is nietemin nuttig om die basiese eienskappe van hierdie vorm te hersien, asook om te leer hoe om dit te teken.
Wat is 'n vyfhoekige prisma?
Dit is 'n driedimensionele figuur waarvan die basis vyfhoeke is, en die sye parallelogramme is. As elkeen van hierdie parallelogramme loodreg op die parallelle basisse is, word so 'n prisma reghoekig genoem. Die laterale oppervlak van 'n reghoekige vyfhoekige prisma is saamgestel uit vyf reghoeke. Boonop is die sy aangrensend aan die basis van elkeen van hulle gelyk aan die ooreenstemmende lengte van die sy van die vyfhoek.
As die vyfhoek reëlmatig is, dit wil sê al sy sye en hoeke is gelyk aan mekaar, dan word so 'n reghoekige prisma reëlmatig genoem. Verder in die artikel sal ons die eienskappe van hierdie spesifieke figuur oorweeg.
Prism-elemente
Vir haar, soos vir enige prisma,die volgende elemente is kenmerkend:
- vlakke of sye is dele van vlakke wat 'n figuur in die ruimte bind;
- tops - punte van kruising van drie kante;
- ribs - segmente van die kruising van twee kante van die figuur.
Die nommers van alle genoemde elemente is met mekaar verwant deur die volgende gelykheid:
Aantal rande=aantal hoekpunte + aantal vlakke - 2
Hierdie uitdrukking word die Euler-formule vir die veelvlak genoem.
In 'n vyfhoekige prisma is die aantal sye sewe (twee basisse + vyf reghoeke). Die aantal pieke is 10 (vyf vir elke basis). Die aantal rande in hierdie geval sal wees:
Aantal ribbes=10 + 7 - 2=15
Tien rande behoort aan die basisse van die prisma, en vyf rande word deur reghoeke gevorm.
Hoe om 'n vyfhoekige prisma te teken?
Die antwoord op hierdie vraag hang af van die spesifieke taak. As dit nodig is om 'n arbitrêre prisma te teken, moet enige vyfhoek geteken word. Trek daarna vyf parallelle segmente van gelyke lengte vanaf elke hoekpunt van die vyfhoek. Verbind dan die boonste punte van die segmente. Die resultaat is 'n vyfhoekige arbitrêre prisma.
As dit nodig is om 'n gereelde prisma te teken, dan kom die hele kompleksiteit van die taak daarop neer om 'n gereelde vyfhoek te verkry. Daar is verskeie maniere om hierdie veelhoek te teken. Hier sal ons slegs twee maniere oorweeg.
Die eerste manier is om 'n sirkel met 'n kompas te teken. Dan word 'n arbitrêre deursnee getekensirkel en vyf hoeke word daaruit getel met 'n gradeboog by 72o(572o=360o). Wanneer elke hoek getel word, word 'n kerf op die sirkel gemaak. Om 'n reghoek te bou, bly dit om die gemerkte kepe met reguit segmente te verbind.
Die tweede metode behels die gebruik van slegs 'n kompas en 'n liniaal. Dit is ietwat kompleks in vergelyking met die vorige een. Hieronder is 'n video wat elke stap van hierdie bou in detail verduidelik.
Let daarop dat dit maklik is om 'n vyfhoek te teken as jy die punte van die ster verbind. As dit nie nodig is om 'n presies gereelde vyfhoek te teken nie, dan kan jy die handgetekende stermetode gebruik.
Sodra die vyfhoek geteken is, teken vyf identiese parallelle segmente van elk van sy hoekpunte en verbind hulle hoekpunte. Die resultaat is 'n vyfhoekige prisma.
Vorm area
Oorweeg nou hoe om die area van 'n vyfhoekige prisma te vind. Die figuur hieronder toon die ontwikkeling daarvan. Dit kan gesien word dat die vereiste area gevorm word deur twee identiese vyfhoeke en vyf reghoeke gelyk aan mekaar.
Die oppervlakte van die hele oppervlak van die figuur word uitgedruk deur die formule:
S=2So+ 5Sp
Hier beteken die indekse o en p onderskeidelik die basis en die reghoek. Kom ons dui die lengte van die sy van die vyfhoek aan as a, en die hoogte van die figuur as h. Dan skryf ons vir die reghoek:
Sp=ah
Om die oppervlakte van 'n vyfhoek te bereken,gebruik die universele formule:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Waar n die aantal sye van die veelhoek is. Deur n=5 te vervang, kry ons:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Die akkuraatheid van die gelykheid is 3 desimale plekke, wat genoeg is om enige probleme op te los.
Nou bly dit oor om die som van die verkryde oppervlaktes van die basis en die syoppervlak te vind. Ons het:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Daar moet onthou word dat die resulterende formule slegs geldig is vir 'n reghoekige prisma. In die geval van 'n skuins figuur, word die area van sy laterale oppervlak gevind gebaseer op die kennis van die omtrek van die snit, wat loodreg op alle parallelogramme moet wees.
Die volume van die figuur
Die formule vir die berekening van die volume van 'n vyfhoekige prisma verskil nie van 'n soortgelyke uitdrukking vir enige ander prisma of silinder nie. Die volume van 'n figuur is gelyk aan die produk van sy hoogte en die oppervlakte van die basis:
V=Soh
As die betrokke prisma reghoekig is, dan is sy hoogte die lengte van die rand wat deur die reghoeke gevorm word. Die oppervlakte van 'n gereelde vyfhoek is hierbo met hoë akkuraatheid bereken. Vervang hierdie waarde in die formule vir volume en kry die nodige uitdrukking vir 'n gereelde vyfhoekige prisma:
V=1, 72a2h
Bereken dus volume en oppervlakte'n gereelde vyfhoekige prisma is moontlik as die sy van die basis en die hoogte van die figuur bekend is.
