Driehoekige piramide en formules om sy oppervlakte te bepaal

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Piramide is 'n meetkundige ruimtelike figuur waarvan die kenmerke op hoërskool in die loop van soliede meetkunde bestudeer word. In hierdie artikel sal ons 'n driehoekige piramide, sy tipes, sowel as formules vir die berekening van sy oppervlakte, oorweeg.

Van watter piramide praat ons?

'n Driehoekige piramide is 'n figuur wat verkry kan word deur al die hoekpunte van 'n arbitrêre driehoek te verbind met een enkele punt wat nie in die vlak van hierdie driehoek lê nie. Volgens hierdie definisie moet die piramide wat oorweeg word, bestaan uit 'n aanvanklike driehoek, wat die basis van die figuur genoem word, en drie sydriehoeke wat een gemeenskaplike sy met die basis het en op 'n punt met mekaar verbind is. Laasgenoemde word die bokant van die piramide genoem.

Die prent hierbo toon 'n arbitrêre driehoekige piramide.

Die figuur wat oorweeg word, kan skuins of reguit wees. In laasgenoemde geval moet die loodlyn wat van die bokant van die piramide na sy basis val, dit by die meetkundige middelpunt sny. die geometriese middelpunt van enigedriehoek is die snypunt van sy mediane. Die geometriese middelpunt val saam met die massamiddelpunt van die figuur in fisika.

As 'n reëlmatige (gelyksydige) driehoek aan die basis van 'n reguit piramide lê, word dit 'n reëlmatige driehoekige een genoem. In 'n gereelde piramide is alle sye gelyk aan mekaar en is gelyksydige driehoeke.

As die hoogte van 'n gereelde piramide so is dat sy sydriehoeke gelyksydig word, word dit 'n tetraëder genoem. In 'n tetraëder is al vier vlakke gelyk aan mekaar, dus kan elkeen van hulle as 'n basis beskou word.

Piramide-elemente

Hierdie elemente sluit die vlakke of sye van 'n figuur, sy rande, hoekpunte, hoogte en apotemas in.

Soos getoon, is alle sye van 'n driehoekige piramide driehoeke. Hulle getal is 4 (3 sye en een by die basis).

Die hoekpunte is die snypunte van die drie driehoekige sye. Dit is nie moeilik om te raai dat vir die piramide wat oorweeg word, daar 4 van hulle is nie (3 behoort aan die basis en 1 aan die bokant van die piramide).

Rande kan gedefinieer word as lyne wat twee driehoekige sye sny, of as lyne wat elke twee hoekpunte verbind. Die aantal rande stem ooreen met twee keer die aantal basishoekpunte, dit wil sê, vir 'n driehoekige piramide is dit 6 (3 rande behoort aan die basis en 3 rande word deur die syvlakke gevorm).

Hoogte, soos hierbo genoem, is die lengte van die loodlyn getrek vanaf die bokant van die piramide tot by sy basis. As ons hoogtes van hierdie hoekpunt na elke kant van die driehoekige basis teken,dan sal hulle apotems (of apotems) genoem word. Die driehoekige piramide het dus een hoogte en drie apotemas. Laasgenoemde is gelyk aan mekaar vir 'n gereelde piramide.

Die basis van die piramide en sy area

Aangesien die basis vir die figuur wat oorweeg word oor die algemeen 'n driehoek is, is dit genoeg om sy hoogte h_o en die lengte van die sy van die basis te vind om sy oppervlakte te bereken a, waarop dit laat sak word. Die formule vir die oppervlakte S_o van die basis is:

S_o=1/2h_oa

As die driehoek van die basis gelyksydig is, dan word die oppervlakte van die basis van die driehoekige piramide bereken deur die volgende formule te gebruik:

S_o=√3/4a²

Dit wil sê, die area S_oword uniek bepaal deur die lengte van sy a van die driehoekige basis.

Sy en totale oppervlakte van die figuur

Voordat die area van 'n driehoekige piramide oorweeg word, is dit nuttig om die ontwikkeling daarvan te wys. Sy is hieronder op die foto.

Die oppervlakte van hierdie sweep wat deur vier driehoeke gevorm word, is die totale oppervlakte van die piramide. Een van die driehoeke stem ooreen met die basis waarvan die formule vir die beskoude waarde hierbo geskryf is. Drie laterale driehoekige vlakke vorm saam die laterale area van die figuur. Daarom, om hierdie waarde te bepaal, is dit genoeg om die bogenoemde formule vir 'n arbitrêre driehoek op elkeen van hulle toe te pas, en dan die drie resultate by te voeg.

As die piramide korrek is, dan is die berekeningsyoppervlakte word vergemaklik, aangesien alle syvlakke identiese gelyksydige driehoeke is. Dui h_bdie lengte van die apoteem aan, dan kan die oppervlakte van die syoppervlak S_b soos volg bepaal word:

S_b=3/2ah_b

Hierdie formule volg uit die algemene uitdrukking vir die oppervlakte van 'n driehoek. Die getal 3 het in die tellers verskyn as gevolg van die feit dat die piramide drie syvlakke het.

Apotema h_b in 'n gewone piramide kan bereken word as die hoogte van die figuur h bekend is. Deur die Pythagoras-stelling toe te pas, kry ons:

h_b=√(h²+ a²/12)

Natuurlik is die totale oppervlakte S van die figuur se oppervlak gelyk aan die som van sy sy- en basisoppervlaktes:

S=S_o+ S_b

Vir 'n gewone piramide, wat alle bekende waardes vervang, kry ons die formule:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Die oppervlakte van 'n driehoekige piramide hang net af van die lengte van die sy van sy basis en van die hoogte.

Voorbeeldprobleem

Dit is bekend dat die syrand van 'n driehoekige piramide 7 cm is, en die sy van die basis is 5 cm. Jy moet die oppervlakte van die figuur vind as jy weet dat die piramide is gereeld.

Gebruik 'n algemene gelykheid:

S=S_o+ S_b

Area S_ois gelyk aan:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Om die laterale oppervlakte te bepaal, moet jy die apotema vind. Dit is nie moeilik om aan te toon dat deur die lengte van die syrand a_b dit bepaal word deur die formule:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Dan is die area van S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm ².

Die totale oppervlakte van die piramide is:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Let daarop dat ons nie die waarde van die piramidehoogte in die berekeninge gebruik het toe ons die probleem opgelos het nie.