'n Belangrike meetkundige voorwerp wat in plat ruimte bestudeer word, is 'n reguit lyn. In driedimensionele ruimte is daar benewens die reguit lyn ook 'n vlak. Beide voorwerpe word gerieflik gedefinieer deur rigtingvektore te gebruik. Wat is dit, hoe word hierdie vektore gebruik om die vergelykings van 'n reguitlyn en 'n vlak te bepaal? Hierdie en ander vrae word in die artikel behandel.
Direkte lyn en hoe om dit te definieer
Elke student het 'n goeie idee van watter meetkundige voorwerp hulle praat. Uit die oogpunt van wiskunde is 'n reguitlyn 'n stel punte wat, in die geval van hul arbitrêre paarsgewyse verbinding, na 'n stel parallelle vektore lei. Hierdie definisie van 'n lyn word gebruik om 'n vergelyking daarvoor in beide twee en drie dimensies te skryf.
Om die beskoude eendimensionele voorwerp te beskryf, word verskillende tipes vergelykings gebruik, wat in die lys hieronder gelys word:
- algemene siening;
- parametries;
- vektor;
- kanonies of simmetries;
- in segmente.
Elkeen van hierdie spesies het 'n paar voordele bo die ander. Byvoorbeeld, 'n vergelyking in segmente is gerieflik om te gebruik wanneer die gedrag van 'n reguit lyn relatief tot die koördinaat-asse bestudeer word, 'n algemene vergelyking is gerieflik om 'n rigting loodreg op 'n gegewe reguit lyn te vind, sowel as wanneer die hoek van sy lyn bereken word. kruising met die x-as (vir 'n plat geval).
Aangesien die onderwerp van hierdie artikel verband hou met die rigtingvektor van 'n reguitlyn, sal ons verder slegs die vergelyking oorweeg waar hierdie vektor fundamenteel is en eksplisiet vervat is, dit wil sê 'n vektoruitdrukking.
Spesifiseer 'n reguit lyn deur 'n vektor
Sê nou ons het 'n vektor v¯ met bekende koördinate (a; b; c). Aangesien daar drie koördinate is, word die vektor in die ruimte gegee. Hoe om dit in 'n reghoekige koördinaatstelsel uit te beeld? Dit word baie eenvoudig gedoen: op elk van die drie asse word 'n segment geplot waarvan die lengte gelyk is aan die ooreenstemmende koördinaat van die vektor. Die snypunt van die drie loodregte wat na die xy-, yz- en xz-vlakke herstel is, sal die einde van die vektor wees. Die begin daarvan is die punt (0; 0; 0).
Nietemin, die gegewe posisie van die vektor is nie die enigste een nie. Net so kan 'n mens v¯ teken deur sy oorsprong by 'n arbitrêre punt in die ruimte te plaas. Hierdie argumente sê dat dit onmoontlik is om 'n spesifieke lyn met 'n vektor te stel. Dit definieer 'n familie van 'n oneindige aantal parallelle lyne.
Noumaak 'n punt P(x0; y0; z0) van spasie reg. En ons stel die voorwaarde: 'n reguit lyn moet deur P gaan. In hierdie geval moet die vektor v¯ ook hierdie punt bevat. Die laaste feit beteken dat een enkele lyn met P en v¯ gedefinieer kan word. Dit sal as die volgende vergelyking geskryf word:
Q=P + λ × v¯
Hier Q is enige punt wat aan die lyn behoort. Hierdie punt kan verkry word deur die toepaslike parameter λ te kies. Die geskrewe vergelyking word die vektorvergelyking genoem, en v¯ word die rigtingvektor van die reguitlyn genoem. Deur dit so te rangskik dat dit deur P gaan en sy lengte met die parameter λ te verander, kry ons elke punt van Q as 'n reguit lyn.
In koördinaatvorm sal die vergelyking soos volg geskryf word:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
En in eksplisiete (parametriese) vorm, kan jy skryf:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
As ons die derde koördinaat in die bogenoemde uitdrukkings uitsluit, dan kry ons die vektorvergelykings van die reguit lyn op die vlak.
Vir watter take is dit nuttig om die rigtingvektor te ken?
In die reël is dit take om die parallelisme en loodregteheid van lyne te bepaal. Die direkte vektor wat die rigting bepaal, word ook gebruik wanneer die afstand tussen reguit lyne en 'n punt en 'n reguit lyn bereken word, om die gedrag van 'n reguit lyn relatief tot 'n vlak te beskryf.
Tweelyne sal parallel wees as hul rigtingvektore is. Gevolglik word die loodregteheid van lyne bewys deur die loodregteheid van hul vektore te gebruik. In hierdie tipe probleme is dit genoeg om die skalaarproduk van die oorweegde vektore te bereken om die antwoord te kry.
In die geval van take vir die berekening van die afstande tussen lyne en punte, word die rigtingvektor eksplisiet by die ooreenstemmende formule ingesluit. Kom ons skryf dit neer:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Here P1P2¯ - gebou op punte P1 en P 2 gerigte segment. Die punt P2 is arbitrêr, lê op die lyn met die vektor v¯, terwyl die punt P1 die een is waarheen die afstand moet bepaal word. Dit kan óf onafhanklik wees óf aan 'n ander lyn of vliegtuig behoort.
Let daarop dat dit sin maak om die afstand tussen lyne slegs te bereken wanneer hulle parallel is of mekaar sny. As hulle sny, dan is d nul.
Die formule hierbo vir d is ook geldig vir die berekening van die afstand tussen 'n vlak en 'n reguit lyn parallel daaraan, slegs in hierdie geval behoort P1 aan die vlak te behoort.
Kom ons los verskeie probleme op om beter te wys hoe om die oorweegde vektor te gebruik.
Vektorvergelykingprobleem
Dit is bekend dat 'n reguit lyn beskryf word deur die volgende vergelyking:
y=3 × x - 4
Jy moet die gepaste uitdrukking in skryfvektorvorm.
Dit is 'n tipiese vergelyking van 'n reguit lyn, bekend aan elke skoolkind, geskryf in algemene vorm. Kom ons wys hoe om dit in vektorvorm oor te skryf.
Die uitdrukking kan voorgestel word as:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Dit kan gesien word dat as jy dit oopmaak, jy die oorspronklike gelykheid kry. Nou verdeel ons sy regterkant in twee vektore sodat net een van hulle x bevat, ons het:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Dit bly om x uit hakies te haal, dit met 'n Griekse simbool aan te dui en die vektore van die regterkant om te ruil:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Ons het die vektorvorm van die oorspronklike uitdrukking gekry. Rigtingvektorkoördinate van die reguitlyn is (1; 3).
Die taak om die relatiewe posisie van lyne te bepaal
Twee reëls word in spasie gegee:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Is hulle parallel, kruisend of kruisend?
Nie-nul vektore (-1; 3; 1) en (1; 2; 0) sal riglyne vir hierdie lyne wees. Kom ons druk hierdie vergelykings in parametriese vorm uit en vervang die koördinate van die eerste in die tweede. Ons kry:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ- 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Vervang die gevind parameter λ in die twee vergelykings hierbo, ons kry:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ kan nie twee verskillende waardes op dieselfde tyd neem nie. Dit beteken dat die lyne nie 'n enkele gemeenskaplike punt het nie, dit wil sê hulle sny mekaar. Hulle is nie parallel nie, aangesien nie-nul vektore nie parallel aan mekaar is nie (vir hul parallelisme moet daar 'n getal wees wat, deur met een vektor te vermenigvuldig, tot die koördinate van die tweede sal lei).
Wiskundige beskrywing van die vliegtuig
Om 'n vlak in die ruimte te stel, gee ons 'n algemene vergelyking:
A × x + B × y + C × z + D=0
Hier verteenwoordig Latynse hoofletters spesifieke syfers. Die eerste drie van hulle definieer die koördinate van die normaalvektor van die vlak. As dit met n¯ aangedui word, dan:
n¯=(A; B; C)
Hierdie vektor is loodreg op die vlak, dus word dit 'n gids genoem. Die kennis daarvan, sowel as die bekende koördinate van enige punt wat aan die vliegtuig behoort, bepaal laasgenoemde uniek.
As die punt P(x1; y1; z1) behoort aan die vliegtuig, dan word die snypunt D soos volg bereken:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Kom ons los 'n paar probleme op deur die algemene vergelyking vir die vliegtuig te gebruik.
Taak virvind die normale vektor van die vliegtuig
Die vliegtuig word soos volg gedefinieer:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Hoe om 'n rigtingvektor vir haar te vind?
Uit bogenoemde teorie volg dit dat die koördinate van die normale vektor n¯ die koëffisiënte voor die veranderlikes is. In hierdie verband, om n¯ te vind, moet die vergelyking in algemene vorm geskryf word. Ons het:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Dan is die normale vektor van die vliegtuig:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Die probleem om die vergelyking van die vlak op te stel
Die koördinate van drie punte word gegee:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Hoe sal die vergelyking van die vliegtuig lyk wat al hierdie punte bevat.
Deur drie punte wat nie aan dieselfde lyn behoort nie, kan net een vlak geteken word. Om sy vergelyking te vind, bereken ons eers die rigtingvektor van die vlak n¯. Om dit te doen, gaan ons soos volg voort: ons vind arbitrêre twee vektore wat aan die vlak behoort, en bereken hul vektorproduk. Dit sal 'n vektor gee wat loodreg op hierdie vlak sal wees, dit wil sê n¯. Ons het:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Neem die punt M1om te tekenvlakke uitdrukkings. Ons kry:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Ons het 'n algemene tipe uitdrukking vir 'n vlak in die ruimte verkry deur eers 'n rigtingvektor daarvoor te definieer.
Die kruisproduk-eienskap moet onthou word wanneer probleme met vliegtuie opgelos word, aangesien dit jou toelaat om die koördinate van 'n normale vektor op 'n eenvoudige manier te bepaal.
